Теорема.

1. Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.

2. Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.

3. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

4. Компоненты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Доказательство.

1. Поскольку вектор, параллельный прямой, и вектор, лежащий на прямой, ненулевые, существует число α такое, что положим, что .

2. , вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах .

3. , вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах .

4. Доказательство единственности разложения вектора по определенному базису будем вести от противного.

Определение.Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса и некоторой точкой , называемой началом координат. Аффинными координатами точки М называются координаты вектора (относительно базиса ).

Определение. В случае декартовой прямоугольной системы координат базисом являются векторы единичной длины, лежащие на координатных осях и сонаправленные с ними , , , . Векторы взаимно ортогональны и их модули равны единице .

Т.е. векторы являются ортонормированным базисом декартовой системы координат. Базисные векторы имеют координаты , , .

Тогда каждый вектор может, и притом единственным образом, быть разложен по декартовому прямоугольному базису , т.е. существует такая тройка чисел , что справедливо равенство , – декартовы прямоугольные координаты, где , тогда , , где – углы между вектором и осями соответственно (рис. 4.5), а косинусы называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 4.5