Транзитивность

Отношение предпочтения на Х транзитивно, если из того, что x предпочтительнее, чем у, а у предпочтительнее, чем z, следует, что х предпочтительнее, чем z. В целом это свойство кажется разумным, поэтому будем предполагать, что оно выполняется в большинстве дальнейших рассуждений. Транзитивность нарушается, если (ху, уz, xz) или (ху, уz, zх) для некоторых х, у и z из Х.

Несмотря на очевидную разумность предположения о транзитивности предпочтений, имеется достаточно примеров и наблюдений, из которых видно, что здравомыслящие люди могут иметь нетранзитивные предпочтения в некоторых ситуациях. Альтернативы, используемые, чтобы проиллюстрировать этот факт, обычно включают несколько критериев или характерных признаков, как в следующем примере, когда молодому ученому предлагается выбрать место академической работы в должности:

(а) х: ассистента в очень известном университете с окладом $15000;

(б) у: доцента в университете штата N с окладом $18000;

(с) z: профессора в малоизвестном: колледже с окладом $21000.

Ученый предпочитает х больше, чем у, рассудив, что престиж известного университета стоит $3000; исходя из аналогичных соображений, он предпочитает у больше, чем z, но, сравнивая х и z, он чувствует, что занимаемый пост и величина оклада перевешивают престижность, поэтому он предпочитает z по сравнению с х. В описанной ситуации его предпочтения образуют цикл ху, уz, zх.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует проблему, возникающую в теории выбора, а именно то, что бинарное отношение не дает путеводной нити для ·выхода из цикла, не позволяет сделать выбор между х, у и z, когда каждая альтернатива менее предпочтительна, чем некоторая другая. Следовательно, здесь нет самой предпочтительной альтернативы. Таким образом, теория выбора, которая сможет учесть и разрешить циклические предпочтения, должна быть «богаче» и «глубже» по сравнению с теоретическими построениями, обсуждаемыми в данной главе.

Отношение безразличия (~) на Х транзитивно, если из того, что х безразличен по отношению к у, а у безразличен к z, следует, что х безразличен по отношению к z. Отношение безразличия не транзитивно, если существуют х, у и z, для которых х~у, y~z и x~z. Хотя во многих примерах нетранзитивных безразличий используется несколько критериев или характерных признаков, можно привести и простейшие «одномерные» примеры, демонстрирующие тот же факт. Для этого можно рассмотреть ситуацию с некоторым пороговым предпочтением, которое остается незамеченным благодаря несущественным или малым различиям в предпочтениях. Например, в чашку с кофе добавляют один за другим маленькие кусочки сахара. Можно ожидать безразличного отношения к х и (х+1) кусочкам сахара для х, скажем, в пределах от 0 до 5000, но трудно ожидать одинакового отношения к двум чашкам кофе, в одной из которых нет сахара, а в другой х= 5000.

В случае, когда предпочтения не образуют циклов, а безразличие не предполагается транзитивным, каждое непустое конечное подмножество Х содержит максимально предпочтительную альтернативу, то есть, одна из альтернатив не менее предпочтительна, чем любая другая альтернатива из данного подмножества. В этом случае можно выделить самую предпочтительную альтернативу с помощью некоторого численного представления предпочтений, при котором u(х) больше, чем u(у) при ху. (Запись u(х) означает: «полезность х»).

Будем говорить, что бинарное отношение является слабым упорядочением, если отношения и ~ транзитивны. Эквивалентным будет утверждение, что отношение является слабым упорядочением, если оно отрицательно транзитивно (и асимметрично, как предполагалось ранее). Поскольку отрицательная транзитивность означает, что при ху либо хz, либо zу, то говорят, что между х и z или между у и z будет существовать «явное» предпочтение, если х не безразличен по отношению к у. Отсюда следует транзитивность отношения безразличия. Когда отношение задает слабое упорядочение, то отношение определенное из (1.2), является транзитивным и связным. Обычно транзитивное и связное отношение называют слабым порядком или полным предпорядком. Таким образом, мы используем в качестве слабого упорядочения отношение , тогда как традиционным считается слабое упорядочение, задаваемое отношением .

В рассуждениях, приведенных ниже, предполагается, что от­ношение - слабое упорядочение. Тогда, поскольку отношение ~ транзитивно, оно является отношением эквивалентности (транзитивным, симметричным, рефлексивным) и, следовательно, может быть использовано для разделения (разбиения) множества Х на классы эквивалентности или классы безразличия. Такие классы представляют собой непустые множества из Х: если А и В - два различных класса и х лежит в А, а у - в В, то x~у тогда и только тогда, когда А=В; если же ху, то х'у' для любого х' из А и каждого у' из В. На рисунке 2 изображены классы безразличия для случая двух продуктов или двух характерных признаков. Классы безразличия представляют собой кривые, на каждой из которых любые две точки находятся в отношении безразличия, а предпочтение возрастает по мере удаления от начала координат. Поскольку

кривые имеют отрицательный наклон, то с уменьшением x₁ должно увеличиваться x₂, чтобы сохранялось отношение безразличия вдоль кривой. Эти кривые называют также кривыми обмена или траекториями безразличия.

В случае большой размерности говорят уже о поверхностях безразличия или о поверхностях обмена. Экономисты используют термин «карта безразличия», понимая под этим набор траекторий безразличия. В экономических исследованиях часто предполагается, что траектории выпуклы в сторону начала координат, как, например, кривые, расположенные вблизи начала координат на рисунке 2.