Некоторые свойства циклических кодов

Все свойства циклических кодов определяются образующим полиномом.

1. Циклический код, образующий полином которого содержит более одного слагаемого, обнаруживает все одиночные ошибки.

Строго доказывать это не будем. Покажем это на примере простейшего образующего полинома g(X) =Х+1. Вектор однократной ошибки в i-м разряде описывается полиномом ВО(Х)=Хⁱ.

Таким образом, поскольку ВО имеет вес 1 (не равен нулю), ошибка обнаруживается.

2. Можно показать, что циклический код, образованный при помощи простейшего первообразного полинома g(Х)=Х+1, позволяет обнаруживать не только одиночные но и любые ошибки нечетной кратности. Доказательство базируется на том факте, что при использовании образующего полинома X+1 получаемые в результате кодовые слова обязательно имеют четное число единичных разрядов.

Любое искажение с нечетным числом ошибок преобразует разрешенное кодовое слово с четным числом единиц в запрещенное слово с нечетным числом единиц. Такое кодовое слово, поскольку оно является запрещенным, сразу же будет обнаружено по наличию остатка от его деления на образующий полином.

Найдем теперь для случая образующего полинома Х+1 упрощенный вариант процедуры кодирования.

Ранее была приведена следующая формула получения кодового слова (случай систематического кода):

Остатком от деления любого полинома на Х+1 может быть либо 0 (остатка нет) либо 1. Следовательно, r=1, то есть образующий полином Х+1 дает нам один дополнительный корректирующий разряд.

Учитывая вывод о том, что при использовании образующего полинома Х+1 получаемые в результате кодовые слова обязательно имеют четное число единичных разрядов, делаем вывод, что этот один разряд должен дополнять число единиц в информационной части кода до четного числа. В этом и заключается упрощенный способ кодирования при использовании разделимого циклического кода с образующим полиномом X+1.