Лекція №2 Позиційні та непозиційні системи числення.

Тема 1.2 Системи числення та представлення інформації в ЕОМ.

1. Перевід чисел з однієї системи числення в іншу.

2. Форми представлення чисел в ЕОМ.

3. Форма з фіксованою комою. Форма з плаваючою комою.

Варіанти переводів. Перевід з двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення в десяткову систему числення і навпаки. Перевід з вісімкової та шістнадцяткової систем числення в двійкову. В ЕОМ інформація обробляється словами, тому в подальшому будемо розглядати поняття та алгоритми, які відносяться до третього та четвертого рівня ієрархії апаратних засобів ЕОМ.

Система відображення будь-яких чисел за допомогою обмеженого числа символів називається системою числення. Системи числення діляться на: непозиційні та позиційні.

В непозиційних - одна і та сама цифра в любому місці числа має одне й те саме значення (римська система, наприклад цифри ІХ (10-1) та ХІ (10+1)).

Недолік: важко записати великі числа та виконувати арифметичні дії.

В позиційних – одна і та сама цифра має різне значення в різних місцях числа (арабська система, наприклад цифра 11 (перша позиція – значення 10, друга позиція – значення 1).

В цифровій техніці використовуються позиційні системи числення, а саме, такі, де вага кожного наступного розряду в стільки разів більша від ваги попереднього, скільки система має значення основи системи числення. Використовуються:

1. десяткова система числення (основа системи числення має значення 10);

2. вісімкова система числення (основа системи числення має значення 8);

3. двійкова система числення (основа системи числення має значення 2);

4. шістнадцяткова система числення (основа системи числення - 16).

 

Назва системи числення десяткова вісімкова двійкова шістнадцяткова
Цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)
Приклади: 1256,71 20,127 101,01 12А,4F
Запис у вигляді багаточлена 1*103+2*102+ 5*101+6*100+ 7*10-1+1*10-2 2*81+0*80+ 1*8-1+2*8-2 + 7*8-3 1*23+0*22+ 1*21+1*20+ 0*2-1+1*2-2 1*162+2*161+10*160+ 4*16-1+ 15*16-2

 

Число записується у вигляді послідовності цифр, які розділені комою на дві групи: цілу частину та дробову частину. Кожна цифра числа займає в ньому певну позицію яка називається розряд. Розрядам приписуються різні вагові коефіцієнти наприклад 102, 100 і т.д.

В переводі з однієї системи числення в іншу можливі такі варіанти:

1) перевід 8 ® 10

2 ® 10

16 ® 10, здійснюється шляхом запису числа у вигляді багаточлена.

Наприклад: (20,1)8 = 2*81+0*80+1*8-1 = 16 + 1/8 = (16,125)10. (індекси при числах показують основу системи числення, у якій представляється число).

Наприклад: (101,01)2 = 1*22+0*21+ 1*20+0*2-1+1*2-2 = 4+1 + 1/4 = (5,25)10.

Наприклад: (А0,8)16 = 10*161+0*160+ 8*16-1 = 160+8/16 = (160,5)10.

2) перевід 8 ® 2

16 ® 2

Основи вісімкової та шістнадцяткової системи числення виражені цілою степеню двох (8=23, 16=24). Для переводу чисел із вісімкової системи у двійкову необхідно кожну цифру вісімкового числа представити трьохрозрядними двійковими числами.

Наприклад: (761,25)8 = (111 110 010, 010 101)2

Для переводу чисел із шістнадцяткової системи у двійкову необхідно кожну цифру шістнадцяткового числа представити чотирьохрозрядними двійковими числами. Наприклад: (А7В,С5)16 = (1010 0111 1011,1100 0101)2.

При зворотньому переводі чисел із двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову систему числення необхідно розряди двійкового числа, розбити на групи по три розряди при переводі у вісімкову систему або на групи по чотири розряди при переводі у шістнадцяткову систему числення. Неповні крайні групи доповнюються нулями. Наприклад: (001 111,101 010)2 = 17,528,

(0101 1100,1011 0110)2 = 5С,B616

3) перевід 10®2

10®8

10®16 здійснюється шляхом ділення цілої частини числа на нову основу, а дробової множенням на нову основу.

  (32)10 = (20)16      
    _    
         
           
             
  (33)10 = (21)16      
    _    
         
           
             

Дробові числа перетворюються

неточно.

Наприклад:

(39519,7821502)10 = (9А5F,С83А...)16

Необхідно цілу частину числа 39519 послідовно ділити на 16, залишки від ділення є цифри шістнадцяткового числа, а дробову частину 0,7821502 необхідно домножувати на 16, при цьому цілі частини є цифрами шістнадцяткового числа.

-        
  -    
  15(F)   -
       
          10(А)  

 

  х 0,7821502  
     
С ® 12,514403  
     
® 8,230448  
     
® 3,687168  
     
А ® 10,994688  

 

 

Перевірка: (9А5F,C83A)16 = 9*163+10*162+5*161+ 15*160+12*16-1+8*16-2+3*16-3 = 36864+2560+80+15+0,75+0,03125+0,000732421875=39519,78198241