Тема 9.6 ЯЗЫК ФУНКЦИЙ ВЫБОРА

Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, ещё более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбора "типичного", выбора "среднего", выбора "наиболее отличного, оригинального", теряющие смысл в случае двух альтернатив.

Язык функций выбора описывает выбор как операцию над произвольным множеством альтернатив X, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество С (Х): С (Х)  X. Функция выбора как отображение совокупности множеств в совокупность множеств (поскольку для выбора могут предлагаться любые подмножества Xi X) без поэлементного отображения одного множества на другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока еще не полно изученным математическим объектом. Конечно, накладывая на функцию выбора определенные требования, мы можем на этом языке описывать и те варианты выбора, которые отражаются в предыдущих языках. Однако главное достоинство нового языка — возможность рассмотрения более сложных правил выбора. На такую возможность указывает хотя бы различие числа возможных функций выбора и числа возможных графов предпочтения на множестве п альтернатив. Число графов, отличающихся наличием или отсутствием хотя бы одной дуги, равно 2n*n. Если для выбора предлагаются k из п альтернатив, то число функций выбора равно 2k(каждая из альтернатив может либо входить в С (Хk), либо нет). Разнообразие функций выбора намного превосходит разнообразие графов предпочтения. Кроме того, здесь сразу допускается отказ от выбора, т.е. пустой выбор С (Хi) = ф, что также расширяет множество правил выбора.

Различие между классами правил выбора можно выразить через различные ограничения, которым подчиняется тот или иной тип функции выбора. Отдельные ограничения и их комбинации дают уже известные нам правила выбора, другие определяют новые правила, которые предстоит изучить. Приведем некоторые из таких ограничений:

Аксиома наследования (Н):

Смысл этой аксиомы сводится к требованию, чтобы в выбор на подмножестве X' вошли все те альтернативы из X', которые входил” в выбор на Х (возможно, еще и другие; рис. 9.7, а).

Рисунок 9.7. Иллюстрация различных аксиом, накладываемых на функции выбора

Аксиома согласия (С):

Это означает, что в выбор из объединения множеств обязательно должны входить альтернативы, общие для выборов из всех множеств (и, возможно, другие альтернативы; рис. 9.7, б).

Оказывается, совместное подчинение функции выбора аксиомам Н и С дает выбор, описываемый в языке бинарных отношений.

Аксиома отбрасывания (О):

Это означает, что если отбросить любую часть отвергнутых при выборе альтернатив, то выбор на оставшемся множестве не изменится (рис. 9.7, в); поэтому данную аксиому называют также условием независимости от отвергнутых альтернатив.

Совместное наложение на выбор аксиом Н, С и О приводит к случаю выбора паретовского множества.

Аксиома Плотта (КС):

Это отражает требования, накладываемые при многоступенчатых выбоpax, когда считается, например, что определить чемпиона мира можно путем соревнований между чемпионами стран и результат окажет тем же, если соревноваться будут не только чемпионы (рис. 9.7, г). Поэтому эту аксиому называют еще условием независимости от пути Функции выбора, удовлетворяющие ей, называются квазисумматорными.

Можно показать, что требование КС эквивалентно совместному выполнению Н и О; следовательно, соединение требований КС и С тоже приводит к паретовскому выбору.

Аксиома предпочтения (П):

Она требует, чтобы при сужении множества альтернатив в выборе оставались только те альтернативы, которые входили в выбор ранее (рис. 9.7, д). Это столь жесткое ограничение, что оно эквивалентно скалярному критериальному выбору.

Ясно, что некоторые из введенных аксиом можно ослаблять или усиливать (например, П есть усиление Н). Аксиому Плотта можно усилить до аксиомы сумматорности: C (X1 Х2) = C(X1)  C(X2); можно накладывать новые, независимые требования (например, аксиома мультипликаторности C (X1 Х2) = C(X1)  C(X2), аксиома монотонности Х1 Х2-> C(Х1)  С(Х2); (рис. 9.7, е), получая при этом различные типы выбора. Наоборот, можно, изучив ограничения того или иного реального правила выбора, искать свойства класса функций выбора, удовлетворяющего этим ограничениям.

Подведем итог:

Язык функций выбора является весьма общим и потенциально может описать любой выбор. Однако его теория находится в начальной стадии развития и пока еще занимается преимущественно описанием старых ситуаций в новых терминах.