Тема 8.1 ВВЕДЕНИЕ

Ранее отмечалось, что почти во всех системах, используемых на практике, наряду с полезным сигналом имеют место случайные возмущения. Присутствие этих возмущений приводит к тому, что форма и уровень сигнала на выходе системы отличаются, и в ряде случаев в значительной степени, от его номинальных параметров. В таких случаях, естественно, возникает вопрос: можно ли каким-нибудь образом видоизменить данную систему так, чтобы уменьшить влияние этих возмущений? Оказывается, что обычно представляется возможным выбрать такую импульсную характеристику системы или ее комплексную частотную характеристику (передаточную функцию), которые минимизируют некоторые характерные признаки возмущений на выходе системы. При этом систему называют оптимальной.

Исследование оптимальных систем для разных видов полезных сигналов и широкого класса шумовых возмущений и помех связано с большими сложностями из-за значительного разнообразия физических ситуаций, в которых возникают различные сигналы и возмущения. Литература по данному вопросу достаточно обширна, а методы, используемые для определения структуры (т. е. синтеза) оптимальной системы, достаточно общие (универсальные) и высокорезультативные при всей их сложности, выходят за рамки рассматриваемого материала. Тем не менее целесообразно ввести некоторые термины и пояснить ряд вопросов с тем, чтобы Вы представляли себе возможности этих методов и испытывал меньшие затруднения при знакомстве с соответствующей литературой.

Один из первых этапов изучения оптимальных систем состоит в точном определении самого понятия оптимальности. Существует много различных критериев оптимальности, поэтому при выборе подходящего критерия необходимо соблюдать осторожность. Эти вопросы будут рассмотрены далее.

Следующий этап, который предполагает, что некоторый критерий оптимальности уже выбран, заключается в определении физической природы анализируемой системы. Здесь также возникает возможность выбора, от правильности которого в значительной, а иногда и в решающей степени зависит простота процедуры оптимизации. Особенности этого этапа кратко рассматриваются в параграфе "Ограничения оптимальных систем".

После того как определена структура оптимальной системы, остается нерешенной задача оценки ее характеристик (т. е. задача анализа оптимальной системы). В ряде случаев эта задача решается достаточно просто, в других же ситуациях ее решение может оказаться сложнее синтеза системы. В рамках рассматриваемого материала не предпринимается попытка выполнения общего обзора методов анализа — каждый случай должен анализироваться отдельно.

В задачах, возникающих в инженерной практике, последний этап заключается в решении вопроса: возможна ли практическая реализация (в том числе и с экономической точки зрения) оптимальной системы или необходимы упрощенные ее варианты. Если окажется, а зачастую именно эта ситуация и имеет место, что не представляется возможным реализовать действительно оптимальную систему, то резонно возникает сомнение относительно практической значимости методов оптимизации. Однако, как это ни удивительно, оптимизация очень часто оказывается высокоэффективной и целесообразной с практической точки зрения операцией, даже если отсутствуют намерение или прямая необходимость построения оптимальной системы. Причина в том, что характеристики оптимальной системы представляют собой критерий и меру, относительно которых могут быть выполнены оценка и сравнение характеристик любых реальных систем. Так как любая реальная система по своим параметрам не может превзойти оптимальную систему этого же типа, их сравнение дает ясный ответ на вопрос: есть ли необходимость в дальнейшем совершенствовании реальной системы или же ее показатели настолько близки к характеристикам оптимальной системы, что дальнейшее их улучшение неоправданно, в том числе с экономической точки зрения? Вероятно, именно возможность такого сравнения является основным доводом в пользу исследования оптимальных систем, так как действительно оптимальные в полном смысле этого слова системы могут быть реализованы практически только в очень редких случаях.

Так как существует значительное число критериев оптимальности, из которых может быть сделан выбор, необходимо установить основные факторы, определяющие целесообразность использования того или иного критерия. Прежде всего необходимо, чтобы критерий удовлетворял ряду требований.

1. Критерий оптимальности должен иметь физический смысл, а его применение не должно приводить к очевидным результатам. Например, если в качестве критерия оптимальности был бы выбран критерий минимума (минимизации) мощности шума на выходе системы, то очевидно, что в результате мы получили бы систему, на выходе которой как полезный сигнал, так и шум имеют нулевые значения. Ясно, что это тривиальный результат. С другой стороны, если формулировку критерия минимума мощности выходного шума дополнить словами “при заданной мощности полезного сигнала на выходе”, то он может оказаться вполне приемлемым.

2. Следствием применения критерия оптимальности должна быть единственность и однозначность решения поставленной задачи. Например, критерий с формулировкой “математическое ожидание ошибки воспроизведения выходного сигнала системой должно быть равно нулю” может быть реализован с помощью многих систем, далеко не равнозначных в отношении получаемой при этом дисперсии данной ошибки.

3. Критерий оптимальности должен приводить к математическим соотношениям и алгоритмам, поддающимся решению. Это требование оказывается весьма строгим и является главной причиной, обусловливающей широкое применение на практике лишь очень незначительного числа критериев. Вследствие этого выбор критерия часто осуществляется с учетом в первую очередь именно этого требования, даже если в данной ситуации могли бы быть более целесообразными некоторые другие критерии.

На выбор критерия оптимальности часто влияет физическая природа входного сигнала, а именно является ли этот сигнал детерминированным или случайным. Причина различия такого рода заключается в том, что обычно применительно к этим двум разным по характеру сигналам используются и системы, имеющие разное назначение. В частности, если входной сигнал является детерминированным, то задача его наблюдения (приема) заключается либо в установлении факта его наличия или отсутствия (задача обнаружения), либо в определении момента времени прихода сигнала, либо в измерении его уровня и т. д. С другой стороны, если сигнал является случайным, то назначение системы, на вход которой он воздействует, состоит в определении этих параметров с максимальной достоверностью. В любом из этих двух случаев может иметь смысл применение ряда критериев, однако для каждого из них будет рассмотрено только по одному критерию, наиболее общепринятому и простому с математической точки зрения.

Для детерминированных сигналов в качестве критерия оптимальности используется критерий максимизации (максимума) отношения сигнал/шум по мощности на выходе системы в фиксированный момент времени. Этот критерий особенно эффективен для систем, предназначенных для обнаружения сигнала известной формы или определения момента прихода такого сигнала. Этот критерий обладает определенной гибкостью в отношении выбора момента времени, для которого должно обеспечиваться максимальное. отношение сигнал/шум, однако обычно физическая природа и структура сигнала диктуют разумный выбор этого параметра.

Применительно к случайным сигналам в качестве критерия оптимальности будет рассмотрен критерий минимизации (минимума) среднего квадрата разности между выходным сигналом системы и истинным значением принимаемого полезного сигнала. Этот критерий особенно эффективен, когда система должна быть предназначена для приема сигналов с неизвестными параметрами и последующего их измерения, а также решения задачи управления. Разность между выходным сигналом системы и истинным значением входного полезного сигнала состоит из двух компонент. Одна из них, представляющая собой сигнальную ошибку, равна разности между входным и выходным сигналами в отсутствие шумов на входе системы. Второй компонентой является выходной шум, одновременно представляющий собой ошибку воспроизведения выходного полезного сигнала. Общая ошибка равна сумме этих компонент, а минимизируемой величиной является средний квадрат этой общей ошибки.

Рассмотрим несколько примеров с целью пояснения введенных выше критериев и для иллюстрации ситуаций, в которых они могут быть применены.

Критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе очень широко используется в радиолокационных системах. В радиолокационных системах осуществляется периодическое излучение радиоимпульсов очень малой длительности; принимаемый сигнал представляет собой одну или несколько копий зондирующего сигнала, которые формируются за счет отражения последнего облучаемыми объектами. Таким образом, форма принимаемого сигнала оказывается известной. Признаками, неизвестными в отношении принимаемого сигнала, являются: число отраженных сигналов, временное запаздывание между моментами приема и излучения сигналов, амплитуда принимаемого сигнала и даже факт его наличия или отсутствия. Используя методы, которые выходят за рамки рассматриваемого материала, можно показать, что вероятность обнаружения слабого радиолокационного сигнала в условиях воздействия шумов или помех максимальна при максимальном отношении сигнал/шум. Таким образом, критерий максимума отношения сигнал/шум соответствует задачам, решение которых возложено на радиолокационные системы.

Аналогичная ситуация возникает в цифровых системах радиосвязи. В этих системах передаваемое сообщение преобразуется в последовательность двоичных символов, условно обозначаемых 0 и 1. Затем каждый из этих двоичных символов представляется в виде временной функции определенной формы. При этом важно, чтобы в приемном устройстве принимались правильные решения относительно истинной полярности (положительной или отрицательной) принимаемых импульсов, однако реализация процедуры принятия правильных решений может оказаться непростой при наличии интенсивных шумов. И в этом случае вероятность принятия правильного решения максимизируется путем максимизации отношения сигнал/шум.

С другой стороны, на практике существует много типов сигналов, форма и другие параметры которых не известны вплоть до момента приема, когда осуществляется их наблюдение на фоне шумов. Например, в аналоговых системах радиосвязи сообщения (речь, музыкальные программы) не преобразуются в двоичную форму, а передаются в исходном виде после осуществления модуляции соответствующего типа. В приемном устройстве необходимо восстановить сообщение с минимально возможными отклонениями от исходного сообщения. В данном случае наиболее целесообразным оказывается критерий минимума средней квадратической ошибки между принимаемым и переданным сообщениями. Примером другой ситуации, когда наиболее эффективным является данный критерий, является измерение параметров биологических сигналов, осуществляемое при снятии электроэнцефалограмм и электрокардиограмм. При этом большое значение имеют точное воспроизведение данных сигналов и предельно возможная минимизация влияния шумов.

Итак, вышеприведенные рассуждения в более сжатой форме можно резюмировать в виде следующих выводов, в общем случае справедливых на практике:

а) При определении факта наличия или отсутствия сигнала с известными параметрами и известной формы целесообразно использовать критерии максимума отношения сигнал/шум на выходе системы.

б) Для измерения параметров сигнала, наличие которого установлено, целесообразно использовать критерий минимума среднего квадрата ошибки.

Естественно, на практике возникают ситуации, для которых не применим ни один из вышерассмотренных критериев, однако эти вопросы выходят за рамки предлагаемого материала.

Обычно возникает необходимость ограничить класс допустимых систем. Ограничение наиболее общего характера заключается в том, что система должна быть каузальной, так как это фундаментальное требование связано с физической реализуемостью (физической осуществимостью) системы. Часто оказывается справедливой ситуация, когда некаузальная система, выходной сигнал которой может представлять собой отклик на будущие значения входного сигнала, лучше удовлетворяет выбранному критерию, чем любая физически реализуемая система. Однако обычно некаузальная система не может быть реализована и, кроме того, такая система не дает возможности приемлемого сравнения с реальной системой, что не может нас удовлетворить. Возможное исключение из этого правила связано с ситуацией, когда осуществляется запись процессов, протекающих в системе, а значит, имеется возможность использования соответствующих будущих значений.

Другое ограничение (допущение) общего характера связано с линейностью системы. Основная причина использования этого допущения заключается в том, что обычно не представляется возможным решить задачу аналитически для оптимальной нелинейной системы. Можно показать, что в значительном числе случаев, особенно при наличии гауссовских шумов, не существует нелинейных систем, которые имеют преимущества по сравнению с применением оптимальных линейных систем. Однако в более общем случае линейная система может уступать по своим характеристикам нелинейной системе. Тем не менее трудности, связанные с определением структуры и анализом оптимальной нелинейной системы, таковы, что часто эти процедуры оказываются труднореализуемыми.

При современном уровне технологии все более широко реализуются и применяются цифровые варианты аналоговых систем. Это исключает необходимость использования громоздких емкостных и индуктивных элементов, за счет чего уменьшаются масса и габариты оптимальной системы. Кроме того, оказывается возможным реализовать системы, которые были бы слишком сложными и дорогостоящими при их исполнении в аналоговом варианте. Вопросы реализации таких цифровых систем выходят за рамки нашего обсуждения, однако Вы должны иметь представление о том, что в принципе действительно возможны цифровые варианты очень сложных систем, но их реализация всегда связана с возникновением ошибок как вследствие дискретизации аналоговых сигналов, так и в результате квантования их амплитуд. Таким образом, проводимый анализ ошибок, возникающих в аналоговых системах, не отражает в необходимой степени характера ошибок, имеющих место в их цифровых вариантах.

Если выбран приемлемый и оправданный с физической точки зрения критерий оптимальности, а система (синтез или анализ которой должны быть выполнены) ограничена классом каузальных и линейных систем, то можно определить импульсную характеристику либо комплексную частотную характеристику (или передаточную функцию), соответствующие выбранному критерию оптимальности. Однако в ряде случаев целесообразно осуществить сужение класса рассматриваемых систем за счет введения дополнительных ограничений. Причина введения этих ограничений заключается в реализации при этом системы с заданным уровнем сложности (а значит, и стоимости), тогда как более общие методы оптимизации позволяют получить систему, являющуюся либо дорогостоящей, либо сложной при практической реализации ее цифрового варианта. Пример такого метода оптимизации будет рассмотрен в следующем параграфе.

Как говорит само название раздела, данный метод оптимизации реализуется путем задания структуры используемой системы и определения параметров ее компонентов, оптимизирующих выбранный критерий, т. е. реализующих выбранный критерий оптимальности. Этот метод имеет очевидное преимущество, связанное с анализом систем, уровень сложности которых задан, и, следовательно, наиболее применим в случаях, когда первостепенное значение имеет именно фактор сложности систем, что непосредственно связано с их габаритами, массой и стоимостью.

Недостаток этого метода оптимизации состоит в том, что реализуемые с его использованием оптимальные системы всегда уступают по своим характеристикам оптимальным системам более широкого класса, на которые заранее не накладывается ограничение, связанное с заданием их структуры. Любые попытки улучшения характеристик систем с заданной структурой путем перебора систем, имеющих несколько более высокий уровень сложности, связаны с трудностями их аналитического математического описания при определении оптимальных значений более чем одного параметра (так как системы уравнений, которые должны быть решены для их определения, в редких случаях являются линейными), хотя вполне возможны численные методы решения соответствующих уравнений на ЭВМ. На практике методы аналитического решения обычно ограничиваются случаем одного параметра. С целью пояснения сути данного метода оптимизации рассмотрим два примера.

В качестве первого примера предположим ситуацию, когда наблюдается аддитивная смесь прямоугольного импульса, изображенного на рис. 8.1, а, и белого шума со спектральной плотностью N0. В силу того что форма сигнала известна, оптимальная система должна быть предназначена для обнаружения этого сигнала на фоне шума. Как было отмечено выше, при этом в качестве наиболее целесообразного критерия оптимальности должен быть выбран критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности в некоторый момент времени на выходе этой системы. Это означает, что если s0(t) — полезный выходной сигнал, а М (t) — выходной шум, средний квадрат которого равен М'2, то требуется получить оптимальную систему, максимизирующую отношение s02(t0)/M'2, где t0— момент времени, соответствующий максимуму этого отношения.

Рисунок 8.1. Форма сигнала и система, максимизирующая отношение сигнал/шум:

а — обнаруживаемый сигнал, б — частный вариант оптимальной системы.

В методе подбора параметров структура системы считается заданной. Пусть в данном примере это будет простая RC-цепь, изображенная на риc. 8.1, 6. Параметром, для которого должно быть выбрано оптимальное значение, является постоянная времени RC-фильтраc= RC или обратная ей величина b= 1/c= 1/RC. Один из первых этапов решения этой задачи состоит в выборе момента времени t0, соответствующего максимуму отношения сигнал/шум. Выбор требуемой величины t0очевиден из анализа структуры полезного сигнала на выходе системы. Этот сигнал описывается выражением

(1)

и изображен на рис. 8.2. Этот результат может быть получен с помощью любого из методов анализа систем. Из рис. 8.2 следует, что выходной полезный сигнал максимален в момент времени t= Т, поэтому следует выбрать t0= Т.

Рисунок 8.2. Сигнальная компонента случайного процесса на выходе RС-фильтра.

Таким образом, имеем

(2)

Для RC-цепи анализируемого типа значение среднего квадрата выходного шума равно

(3)

Следовательно, максимизируемое отношение сигнал/шум имеет вид

(4)

Прежде чем перейти к процедуре максимизации, следует отметить, что это отношение положительно для всех b > 0 и равно нулю для b = 0 и b=. Следовательно, должно существовать положительное значение b, при котором это отношение максимально.

Для определения этого значения b продифференцируем (4) по переменной b и производную приравняем нулю:

(5)

После упрощения это соотношение приводится к виду

(6)

Это уравнение легко решается относительно неизвестной величины bТ методом “проб и ошибок” и приводит к решению

(7)

откуда оптимальное значение постоянной времени RС-цепи определяется как

(8)

Следует отметить, что именно это значение постоянной времени RС-фильтра обеспечивает максимум отношения сигнал/шум в момент времени T.

Следующим этапом процедуры оптимизации является оценка характеристик фильтра, т. е. определение того, насколько высокими фильтрующими свойствами обладает данная RС-цепь. Эта операция легко реализуется подстановкой оптимального значения bТ в выражение (4) для отношения сигнал/шум. В результате получим

(9)

Нетрудно заметить, что энергия в импульсе равна A2T, тaк что максимальное отношение сигнал/шум пропорционально отношению энергии сигнала к спектральной плотности шума. Этот результат характерен для всех случаев максимизации отношения сигнал/шум при наличии белого шума. Имеются результаты, свидетельствующие о том, что в последнем случае, а именно при воздействии белого шума и при условии, что структура оптимальной системы не является заданной в противоположность тому, что полагалось выше, постоянная пропорциональности равна единице, а не 0, 8145. Уменьшение отношения сигнал/шум, имеющее место в данном примере, может рассматриваться как плата за использование простого RС-фильтра. Из данного примера видно, что при этом энергетические потери незначительны, хотя в других случаях они могут быть ощутимыми.

И наконец, последний этап решения задачи оптимизации, который зачастую не принимается во внимание, заключается в анализе чувствительности отношения сигнал/шум к выбору параметра b. Проще всего реализовать этот этап, выразив постоянную пропорциональности в (4) как функцию параметра b. График этой постоянной

(10)

представлен на рис. 8.3. Видно, что отношение сигнал/шум на выходе системы изменяется незначительно при изменении b в окрестности точки, соответствующей значению параметра bТ, при котором имеет место максимум этого отношения. Таким образом, выбор постоянной времени оптимального фильтра не столь важен в части ее совпадения с действительно оптимальным значением.

Рисунок 8.3. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе системы от параметра bТ.

Тот факт, что анализируемая система не очень чувствительна (критична) к выбору ее параметра, не должен толковаться как всегда имеющий место. Например, если бы сигнал представлял собой импульс с высокочастотным синусоидальным заполнением, а система — резонансную цепь, то характеристики этой системы в значительной степени зависели бы от резонансной частоты, а значит, и от индуктивности и емкости ее элементов.

В качестве второго примера использования этого метода оптимизации рассмотрим воздействие случайного сигнала и будем использовать критерий минимума среднего квадрата ошибки. Анализируемой системой будет идеальный фильтр нижних частот, для которого необходимо определить оптимальную ширину полосы пропускания.

Предположим, что на вход этого фильтра воздействует случайный сигнал Х (t), спектральная плотность которого

(11)

Этот сигнал принимается на фоне белого шума N (t) со спектральной плотностью N0. На рис. 8.4 иллюстрируются спектральные плотности сигнала и шума, а также квадрат модуля комплексной частотной характеристики идеального фильтра нижних частот.

Рисунок 8.4. Спектральные плотности сигнала и шума; квадрат модуля комплексной частотной характеристики идеального фильтра нижних частот.

Так как линейный фильтр представляет собой фильтр нижних частот, ошибка Е (t) = X (t) — Y (t) воспроизведения сигнальной компоненты целиком обусловлена составляющими спектральной плотности сигнала, находящимися вне пределов полосы пропускания фильтра. Значение среднего квадрата этой ошибки может быть определено интегрированием спектральной плотности случайного сигнала в пределах, превышающих |2В|. В силу симметрии спектральной плотности достаточно вычислить соответствующий интеграл в одном полуинтервале с последующим удвоением полученного результата.

Тогда получим

(12)

Шум М (t) на выходе фильтра имеет значение среднего квадрата

(13)

Суммарное значение среднего квадрата ошибки в силу независимости сигнала и шума равно сумме компонент, определяемых выражениями (12) и (13), а именно

(14)

Минимизация этой суммы реализуется соответствующим выбором параметра В, что означает дифференцирование (14) по аргументу В и приравнивание результата нулю:

откуда получаем оптимальное значение параметра В

(15)

Подставляя это значение параметра В в выражение (14), получим минимальное значение среднего квадрата ошибки.

Форма записи вида (15) не столь очевидна в ее интерпретации. Поэтому представим несколько более простую форму записи с учетом того, что средний квадрат сигнала равен X2*= A2/4fa, а значение среднего квадрата шума, содержащегося в пределах эквивалентной шумовой полосы сигнала равно N2*X= faN0, так как эквивалентная шумовая полоса сигнала равна (/2)fa. Тогда соотношение (15) можно переписать в виде

(16)

График зависимости B/faот X2*/N2*Xизображен на рис. 8.5.

Рисунок 8.5. Оптимальная полоса пропускания фильтра нижних частот.

Анализ рис. 8.5 позволяет сделать интересный вывод, заключающийся в том, что оптимальная полоса пропускания фильтра нижних частот равна нулю при равенстве среднего квадрата сигнала на входе фильтра среднему квадрату шума в пределах эквивалентной шумовой полосы сигнала. При этом на выходе фильтра отсутствуют как сигнал, так и шум. Таким образом, минимальное значение среднего квадрата ошибки равно значению среднего квадрата сигнала. Для меньших значений среднего квадрата сигнала оптимальная полоса по-прежнему остается равной нулю, а минимальное значение среднего квадрата ошибки — равным значению среднего квадрата сигнала.

В каждом из вышеприведенных примеров в процессе реализации выбранного критерия оптимальности осуществлялся выбор значений только одного параметра системы. Процедура выбора значений двух и более параметров оказывается аналогичной, а именно максимизируемая или минимизируемая величина (в зависимости от выбранного критерия) дифференцируется по каждому из параметров, для которых должны быть определены оптимальные значения, а соответствующие производные приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, решения которой представляют собой оптимальные значения этих параметров. Однако на практике процедура решения такой системы уравнений реализуема только в редких случаях в силу того, что уравнения этой системы оказываются нелинейными и затрудняют получение окончательного результата в аналитической форме. При этом часто могут быть использованы численные методы решения на ЭВМ, однако при этом остается много неразрешенных вопросов, связанных, в частности, с единственностью получаемых решений.

Раздел IX. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ