Тема 7.1. ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ СИСТЕМЫ

 

Введем, прежде всего, следующие исходные понятия:

1. Системой (абстрактной) S называется отношение над абстрактными множествами Х и У:

2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему функциональной.

Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на то, является ли она функциональной, когда это свойство несущественно или когда оно вытекает из контекста.

Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия; в этом случае входное и выходное множества мы будем иногда называть множествами причин и следствий (объектами-причинами и объектами-следствиями). Эта терминология относится к моделированию явлений, содержащих причинно-следственные связи. Если система описывается отношением, а не однозначной функцией, причиной служит пара “вход — начальное состояние”. В дальнейшем мы не будем, как правило, использовать отношения, а ограничимся рассмотрением функциональных подсистем даже при развитии общей теории. Мы будем употреблять термин “множество входных сигналов”, а не “множество причин”, подразумевая, что в рассматриваемой системе начальное состояние задано. Это едва ли ограничит общность результатов; в то же время использование функций вместо соответствующих отношений значительно упрощает рассуждения. Избегая длительного обсуждения вопроса о том, почему вводится именно такое понятие системы, мы приведем несколько примеров, показывающих, каким образом это понятие охватывает различные специальные случаи.

Рассмотрим разностное уравнение

(1)

описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в дискретные моменты времени Т = {1, 2. .... п}. Для заданного начального условия y0=  каждому набору из п чисел х = (x1,..., xn)  Rnсоответствует единственный набор у = (y1, .... yn)  Rn, который удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1, .... п. Таким образом, определено отображение S: Rn->Rn, такое, что для всех х из Rn-образ у = S(x) является единственным решением уравнения (1) при заданном начальном условии у0= . Если допустимые начальные условия образуют множество Y0 R, мы получаем отношение S  Rn* Rn, причем S =  S. Таким образом, приведенное выше уравнение описывает и общем случае систему S  Rn* Rnи, в частности, определяет функциональную систему S, когда задано начальное условие y0=.

Рассмотрим автомат для продажи кока-колы, и который можно опускать пяти- и десятицентовые монеты, причем стакан кока-колы стоит пятнадцать центов и автомат, когда это требуется, выдает сдачу. Введем следующие множества:

А = {5, 10} — множество монет, которые принимает автомат;

B1={, кока-кола}, где  означает “кока-колы на выходе нет”;

B2={0, 5} - множество монет, которыми автомат выдаст сдачу.

Тогда множество выходов представляется декартовым произведением B=B1 * B2.

Введем также множество Q = {q0, q1, q2}— множество “состояний” автомата. Теперь функцию переходов f: А* Q->Q и функцию выходов h: А* Q —> В можно задать следующей таблицей:

Таблица 7.1

Рассмотрим случай, когда в автомат опускают подряд п монет. Пусть Anи Bnобозначают множества наборов длины п из элементов множества А и В соответственно. Тогда легко видеть, что для заданного начального состояния q = qiкаждому х  Аnсоответствует единственный элемент у Bn. Другими словами. мы определили отображение Sq: Аn-> Bn, такое, что для всех х из Anобраз у = Sq(х) является однозначно определенным выходом, зависящим от х и начального состояния q = qi. Таким образом, данный автомат представляется системой S  An* Вn, такой, что S=  Sq. Иногда мы можем получить стакан кока-колы за пять или десять центов, но если автомат исправен, его начальным состоянием является q0и, следовательно, данный автомат может рассматриваться как функциональная система Sq, где q=q0

Рассмотрим простую динамическую систему:

Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k, смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t — через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением:

my'' (t) = x(t) - ky(t) (2)

Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале времени Т= [0, ). Пусть Х — множество всех интегрируемых вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий  = (у (0), у' (0)) каждому х  Х соответствует единственным образом определённое у  Y, такое, что для каждого t  T

где w= (k/m)1/2. Таким образом, это уравнение описывает однозначное отображение S: Х —> У.

Если множеством допустимых начальных условий является A R * R, то данная система представляется отношением

 

Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности, соответствующую помещенному ниже рисунку:

В общем случае, если в пластине имеются источники тепла, функция распределения температуры  (t, u) задается следующим уравнением в частных производных:

где z (t, и) описывает источники тепла внутри пластины, а a и b — константы; ради простоты мы примем, однако, что z  0. Предположим также, что функция  (0, и) = f (и) задана на отрезке [0, ], а тепловой источник с температурой х° С начинает действовать у левого конца пластины в момент времени t=0. Пусть Y — множество всех вещественных функций, определенных на [0, ) * [0, ]. Если для начального распределения температуры f существует разложение в ряд Фурье, то для заданного распределения f каждому х  R соответствует единственное   Y. Например, когда f = 0,

Эта зависимость представляет собой отображение Sf: R -> Y, где f — заданное начальное распределение. Обозначим через F множество вещественных функций, определенных па [0, ], для которых существует разложение Фурье. Тогда отношение

описывает данную физическую систему.