Тема 7.1. ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ СИСТЕМЫ
Введем, прежде всего, следующие исходные понятия:
1. Системой (абстрактной) S называется отношение над абстрактными множествами Х и У:
2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему функциональной.
Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на то, является ли она функциональной, когда это свойство несущественно или когда оно вытекает из контекста.
Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия; в этом случае входное и выходное множества мы будем иногда называть множествами причин и следствий (объектами-причинами и объектами-следствиями). Эта терминология относится к моделированию явлений, содержащих причинно-следственные связи. Если система описывается отношением, а не однозначной функцией, причиной служит пара “вход — начальное состояние”. В дальнейшем мы не будем, как правило, использовать отношения, а ограничимся рассмотрением функциональных подсистем даже при развитии общей теории. Мы будем употреблять термин “множество входных сигналов”, а не “множество причин”, подразумевая, что в рассматриваемой системе начальное состояние задано. Это едва ли ограничит общность результатов; в то же время использование функций вместо соответствующих отношений значительно упрощает рассуждения. Избегая длительного обсуждения вопроса о том, почему вводится именно такое понятие системы, мы приведем несколько примеров, показывающих, каким образом это понятие охватывает различные специальные случаи.
Рассмотрим разностное уравнение
(1)
описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в дискретные моменты времени Т = {1, 2. .... п}. Для заданного начального условия y0= каждому набору из п чисел х = (x1,..., xn) Rnсоответствует единственный набор у = (y1, .... yn) Rn, который удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1, .... п. Таким образом, определено отображение S: Rn->Rn, такое, что для всех х из Rn-образ у = S(x) является единственным решением уравнения (1) при заданном начальном условии у0= . Если допустимые начальные условия образуют множество Y0 R, мы получаем отношение S Rn* Rn, причем S = S. Таким образом, приведенное выше уравнение описывает и общем случае систему S Rn* Rnи, в частности, определяет функциональную систему S, когда задано начальное условие y0=.
Рассмотрим автомат для продажи кока-колы, и который можно опускать пяти- и десятицентовые монеты, причем стакан кока-колы стоит пятнадцать центов и автомат, когда это требуется, выдает сдачу. Введем следующие множества:
А = {5, 10} — множество монет, которые принимает автомат;
B1={, кока-кола}, где означает “кока-колы на выходе нет”;
B2={0, 5} - множество монет, которыми автомат выдаст сдачу.
Тогда множество выходов представляется декартовым произведением B=B1 * B2.
Введем также множество Q = {q0, q1, q2}— множество “состояний” автомата. Теперь функцию переходов f: А* Q->Q и функцию выходов h: А* Q —> В можно задать следующей таблицей:
Таблица 7.1
Рассмотрим случай, когда в автомат опускают подряд п монет. Пусть Anи Bnобозначают множества наборов длины п из элементов множества А и В соответственно. Тогда легко видеть, что для заданного начального состояния q = qiкаждому х Аnсоответствует единственный элемент у Bn. Другими словами. мы определили отображение Sq: Аn-> Bn, такое, что для всех х из Anобраз у = Sq(х) является однозначно определенным выходом, зависящим от х и начального состояния q = qi. Таким образом, данный автомат представляется системой S An* Вn, такой, что S= Sq. Иногда мы можем получить стакан кока-колы за пять или десять центов, но если автомат исправен, его начальным состоянием является q0и, следовательно, данный автомат может рассматриваться как функциональная система Sq, где q=q0
Рассмотрим простую динамическую систему:
Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k, смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t — через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением:
my'' (t) = x(t) - ky(t) (2)
Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале времени Т= [0, ). Пусть Х — множество всех интегрируемых вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий = (у (0), у' (0)) каждому х Х соответствует единственным образом определённое у Y, такое, что для каждого t T
где w= (k/m)1/2. Таким образом, это уравнение описывает однозначное отображение S: Х —> У.
Если множеством допустимых начальных условий является A R * R, то данная система представляется отношением
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности, соответствующую помещенному ниже рисунку:
В общем случае, если в пластине имеются источники тепла, функция распределения температуры (t, u) задается следующим уравнением в частных производных:
где z (t, и) описывает источники тепла внутри пластины, а a и b — константы; ради простоты мы примем, однако, что z 0. Предположим также, что функция (0, и) = f (и) задана на отрезке [0, ], а тепловой источник с температурой х° С начинает действовать у левого конца пластины в момент времени t=0. Пусть Y — множество всех вещественных функций, определенных на [0, ) * [0, ]. Если для начального распределения температуры f существует разложение в ряд Фурье, то для заданного распределения f каждому х R соответствует единственное Y. Например, когда f = 0,
Эта зависимость представляет собой отображение Sf: R -> Y, где f — заданное начальное распределение. Обозначим через F множество вещественных функций, определенных па [0, ], для которых существует разложение Фурье. Тогда отношение
описывает данную физическую систему.