Тема 1 Игровые методы и модели их использования

Модели исследования операций

1 Основные понятия теории игр

2 Решение матричных игр методами линейного программирования

3 Игры с природой. Критерии выбора решений в условиях неопределенности

Пример выполнения задания

После нескольких лет эксплуатации промышленное оборудование может оказаться в одном из следующих состояний: 1) требуется незначительный ремонт; 2) необходимо заменить отдельные детали; 3) дальнейшая эксплуатация возможна только после капитального ремонта. В зависимости от сложившейся ситуации руководство предприятия может принять следующие решения: 1) провести ремонт своими силами, что потребует затрат, равных 2,4 или 6 денежным единицам в зависимости от состояния оборудования (в затраты включаются стоимость ремонта и заменяемых деталей, убытки, связанные с ухудшением качества выпускаемой продукции или с простоем неисправного оборудования; 2) провести ремонт с помощью специалистов ремонтников, что вызовет затраты, равные соответственно 8, 2 или 6 денежным единицам; 3) заменить оборудование новым, на что будет израсходовано соответственно 10, 8 или 6 денежных

Используя игровой подход, выработать рекомендации по оптимальному образу действий руководства предприятия.

Решение. В рассматриваемой ситуации в качестве игрока А выступает руководство предприятия, обладающее тремя возможными стратегиями: А₁- проведение ремонта своими силами, А₂ проведение ремонта приглашаемыми специалистами, А₃- проведение замены оборудования. Неопределенность ситуации здесь связана с комплексом внешних условий, в которых функционирует оборудование на протяжении нескольких лет и которое можно определить как возможные состояния «природы» - П₁, П₂ и П₃. «Выигрышами» игрока А являются затраты, связанные с реализацией решений (стратегий) А₁, А₂ и А₃ и составляющие платежную матрицу, показанную в таблице 43.

Таблица 43 - Матрица

По Критерию Вальда, оптимальной стратегией будет А₁, т.к., в этом случае достигается максимум:

Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, составляем по таблице 43 матрицу рисков с элементами (таблица 44). Так,

Таблица 44 — Матрица рисков

и т.д.

Оптимальной по Сэвиджу будет стратегия А1, так как при ней выполняется условие

Для применения Критерия Гурвица выберем = 0,6, тогда

Все промежуточные результаты запишем в таблицу 45. Из последнего столбца этой таблицы видно, что максимальное значение h_i равно -4,4 и соответствует стратегии А₁ она и будет оптимальной. Таким образом, все три критерия говорят в пользу стратегии А₁ , т.е. руководство предприятия должно принять решение о проведении ремонта оборудования своими силами.

Таблица 45 — Решение

Задания:

1 Магазин может закупить для реализации а, в или с единиц скоропортящегося товара по цене d у. д. е. за единицу товара. В зависимости от состояния спроса на данный товар (пониженный, умеренный или повышенный) может быть продано в день реализации соответственно а, в или с единиц товара по цене р у.д.е. за 1 товара. Остаток товара реализуется полностью на следующий день по сниженной цене 1 у.д.е. за 1 товара. дополнительная за‚ i ка товара осуществляется по цене t у.д.е. Какую стратегию закупок использовать магазину, чтобы максимизировать доход, при а=30, в=40, с=50, d=4, р=6, t=2, s=5 и =0,5.

2 На технологическую линию может поступать сырье с малым, средним и большим содержанием примесей. Условия производства позволяют эксплуатировать технологическую линию в 4 -х режимах.

Прибыль от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья с малым содержанием примесей при различных режимах работы технологической линии, в среднем составляет соответственно 6,3, 10,1, 8,2, и 5,1 у.д.е.; из сырья со средним содержанием примесей — 4,2, 9,8, 3,1, и 6,2 у.д.е.; из сырья с большим содержанием примесей — 3,1, 2,2, 3,9, 2,5 у.д.е. Выбрать режимы работы технологической линии, при которой прибыль предприятия будет наибольшей.

(=0,5).

3 Турбаза «Припять» обслуживает туристические группы. Расход хлебопродуктов прямо пропорционален числу таких групп. Точное их число каждый день неизвестно: оно колеблется в пределах от 14 до 26 в день включительно. На каждую партию туристов требуется в день 5 кг хлебопродуктов. Потери в случае экстренного заказа составляют 20 денежных единиц за 1 кг. Оставшиеся хлебопродукты реализуются по 10 денежных едини за 1 кг. Рассматривая приведенную ситуацию как игру с «природой» составить матрицу игры и определить оптимальное количество заказываемых хлебопродуктов

(=0,5).

4Для отопления помещений приобретается топливо. Расход топлива и цены на него зависят от погоды зимой. Перед отопительным сезоном уголь может быть приобретен по минимальной цене (10 ден. ед. за 1 т), а излишек его можно реализовать цене 5 ден. ед. за 1т. Можно избрать одну из трех стратегий закупки угля А₁— 5т, А₂ — 10т, А₃ — 18т. Рассматривая условие как игру с «природой» определить оптимальную стратегию в образовании запасов. Исходные данные для составления платежной матрицы игры приводятся в таблице 46.

(=0,5).

Таблица 46 — Исходные данные

5 Руководство универмага заказывает товар вида А. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 5 до 8 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,5) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным заказом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 1 ден.ед., а по срочному заказу и завозу 2 ден.ед.

6 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда. Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 47.

Таблица 47 Исходные данные

7 Кафе «Шоколадница» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Известно, что спрос на пирожные может составлять 150, 170, 200 и 210 штук. Затраты на производство одного пирожного составляют 8 ден.ед., а цена его реализации - 10 ден.ед. Если пирожные не продаются в течение 36 часов, они портятся и кафе несет убытки. Требуется определить но критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,6) какое количество пирожных следует выпекать.

8 Магазин может закупить для реализации а, в или с единиц скоропортящегося товара по цене d у.д.е. за единицу товара. В зависимости от состояния спроса на данный товар (пониженный, умеренный или повышенный) может быть продано в день реализации соответственно а, в или с единиц товара по цене p у.д.е. за 1 товара. Остаток товара реализуется полностью на следующий день по сниженной цене t у.д.е. за 1 товара. Дополнительная закупка товара осуществляется по цене s у.д.е. Какую стратегию закупок использовать магазину, чтобы максимизировать доход, при а=10, в=20, с=З0, d=2, р=8, t=3, s = 5 и =0,5.

9 Руководство магазина заказывает некоторый товар. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 8 до 11 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (= 0,2)) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 3 д.е., по срочному заказу и завозу — 6 д.е.

10 Сельскохозяйственное предприятие на площади в 1 га может посеять одну из трех культур: пшеницу, рожь и кукурузу. Определить, какую из культур сеять, если урожай этих культур зависит главным образом от погоды, а план сева должен обеспечить максимальный доход от реализации произведенной сельхозпродукции. Урожайность культур в зависимости от погоды и цена 1 ц. каждой культуры известны и приводятся в таблице 48. При использовании критерия Гурвица принять =0,5.

Таблица 48 — Исходные данные

11 Для отопления помещений приобретается топливо (уголь). Расход топлива и цены на него зависят от погоды зимой. Данные о зимних ценах на уголь и о количестве угля, необходимого для отопления помещения в зимний период приведены в таблице 49 . Перед отопительным сезоном уголь может быть приобретен по минимальной цене (3 ден. ед. за 1 т). Недостающее количество угля можно приобрести зимой, так как имеется достаточно места для его хранения. Излишек угля можно реализовать после окончания зимы по цене 2 ден. ед. за 1 т. Рассматривая условие задачи как игру с «природой» определить оптимальную стратегию в образовании запасов угля. При использовании критерия Гурвица принять = 0,5.

Таблица 49 - Исходные данные

12 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 50.

Таблица 50 Исходные данные

13 Турбаза «Волна» обслуживает туристические группы. Расход хлебопродуктов прямо пропорционален числу таких групп. Точное их число каждый день неизвестно: оно колеблется в пределах от 15 до 20 в день включительно. На каждую партию туристов требуется в день 5 кг хлебопродуктов. Потери в случае экстренного заказа составляют 30 денежных единиц за 1 кг. Оставшиеся хлебопродукты реализуются по 10 денежных едини за 1 кг. Рассматривая приведенную ситуацию как игру с «природой» составить матрицу игры и определить оптимальное количество заказываемых хлебопродуктов.

14 Руководство магазина заказывает некоторый товар. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 9 до 12 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (= 0,5)) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 2 д.е., по срочному заказу и завозу — 3 д.е.

15 На технологическую линию может поступать сырье с малым, средним и большим содержанием примесей. Условия производства позволяют эксплуатировать технологическую линию в 4 -х режимах. Прибыль от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья с малым содержанием примесей при различных режимах работы технологической линии, в среднем составляет соответственно 5,9, 9,1, 8,3, и 5,2 у.д.е.; из сырья со средним содержанием примесей — 4,3, 7,8, 8,5, и 3,4 у.д.е.; из сырья с большим содержанием примесей — 2,9, 1,4, 4,9, 1,2 у.д.е. Выбрать режимы работы технологической линии, при которой прибыль предприятия будет наибольшей. (=0,5).

16 Сельскохозяйственное предприятие на площади в 1 га может посеять одну из трех культур: пшеницу, рожь и кукурузу. Определить, какую из культур сеять, если урожай этих культур зависит главным образом от погоды, а план сева должен обеспечить максимальный доход от реализации произведенной сельхозпродукции. Урожайность культур в зависимости от погоды и цена 1 ц. каждой культуры известны и приводятся в таблице 51. При использовании критерия Гурвица принять =0,5.

Таблица 51 — Исходные данные

17 Туристическая фирма берет на реализацию туристические путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 7 до 10 штук. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать недостающее количество, что потребует дополнительных расходов в 6 ден. ед. за каждую новую путевку. Если же количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованные путевки составят 3 ден. ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 10 ден. ед. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,2)), какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

18 Руководство магазина заказывает некоторый товар. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 10 до 13 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (= 0,3)) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 1 ден.ед., по срочному заказу и завозу — 3 ден.ед.

19 Магазин может закупить для реализации а, в или с единиц скоропортящегося товара по цене d у.д.е. за единицу товара. В зависимости от состояния спроса на данный товар (пониженный, умеренный или повышенный) может быть продано в день реализации соответственно а, в или с единиц товара по цене p у.д.е. за 1 товара. Остаток товара реализуется полностью на следующий день по сниженной цене t у.д.е. за 1 товара. Дополнительная закупка товара осуществляется по цене s у.д.е. Какую стратегию закупок использовать магазину, чтобы максимизировать доход, при а=20, в=30, с=40, d=3, р=5, t=1, s = 4 и =0,5.

20 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 52.

Таблица 52 Исходные данные

21 Кафе «Лакомка» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Известно, что спрос на пирожные может составлять 200, 220, 240 и 260 штук. Затраты на производство одного пирожного составляют 7 ден.ед., а цена его реализации - 10 ден.ед. Если пирожные не продаются в течение 36 часов, они портятся и кафе несет убытки. Требуется определить но критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,6) какое количество пирожных следует выпекать.

22 Туристическая фирма берет на реализацию туристические путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 5 до 10 штук. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать недостающее количество, что потребует дополнительных расходов в 5 ден. ед. за каждую новую путевку. Если же количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованные путевки составят 3 ден. ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 20 ден. ед. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,2)), какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

23 Сельскохозяйственное предприятие на площади в 1 га может посеять одну из трех культур: пшеницу, рожь и кукурузу. Определить, какую из культур сеять, если урожай этих культур зависит главным образом от погоды, а план сева должен обеспечить максимальный доход от реализации произведенной сельхозпродукции. Урожайность культур в зависимости от погоды и цена 1 ц. каждой культуры известны и приводятся в таблице 53. При использовании критерия Гурвица принять =0,5.

Таблица 53 — Исходные данные

24 Туристическая фирма «ТопТур» берет на реализацию туристические путевки у фирмы «Тревел». Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 10 до 15 штук. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то можно заказать недостающее количество, что потребует дополнительных расходов в 6 д.е. за каждую новую путевку. Если же количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованные путевки составят 3 д.е. Прибыль от реализации одной путевки составляет 30 д.е. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,6)), какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

25 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 54.

Таблица 54 Исходные данные

26 Руководство универмага заказывает некоторый товар. Известно, что спрос на данный вид товара лежит в пределах от 15 до 20 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то руководство может срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше имеющегося в наличии количества товара, то нереализованный товар хранится на складе универмага. Требуется определить (по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (= 0,5)) такой объем заказа на товар, при котором дополнительные затраты, связанные с хранением и срочным завозом были бы минимальными, если расходы на хранение единицы товара составляют 2 ден.ед., по срочному заказу и завозу — 3 ден.ед.

27 На технологическую линию может поступать сырье с малым, средним и большим содержанием примесей. Условия производства позволяют эксплуатировать технологическую линию в 4 -х режимах. Прибыль от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья с малым содержанием примесей при различных режимах работы технологической линии, в среднем составляет соответственно 5,7, 9,8, 7,5, и 4,9 у.д.е.; из сырья со средним содержанием примесей — 4,6, 8,5, 3,9, и 7,8 у.д.е.; из сырья с большим содержанием примесей — 2,4, 1,2, 4,5, 2,1 у.д.е. Выбрать режимы работы технологической линии, при которой прибыль предприятия будет наибольшей. (=0,5).

28 Сельскохозяйственное предприятие на площади в 1 га может посеять одну из трех культур: пшеницу, рожь и кукурузу. Определить, какую из культур сеять, если урожай этих культур зависит главным образом от погоды, а план сева должен обеспечить максимальный доход от реализации произведенной сельхозпродукции. Урожайность культур в зависимости от погоды и цена 1 ц. каждой культуры известны и приводятся в таблице 55. При использовании критерия Гурвица принять =0,5.

Таблица 55 — Исходные данные

29 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 56.

Таблица 56 Исходные данные

30 Магазин может закупить для реализации а, в или с единиц скоропортящегося товара по цене d у.д.е. за единицу товара. В зависимости от состояния спроса на данный товар (пониженный, умеренный или повышенный) может быть продано в день реализации соответственно а, в или с единиц товара по цене p у.д.е. за 1 товара. Остаток товара реализуется полностью на следующий день по сниженной цене t у.д.е. за 1 товара. Дополнительная закупка товара осуществляется по цене s у.д.е. Какую стратегию закупок использовать магазину, чтобы максимизировать доход, при а=40, в=50, с=60, d=1, р=4, t=3, s =3 и =0,5.

31На технологическую линию может поступать сырье с малым, средним и большим содержанием примесей. Условия производства позволяют эксплуатировать технологическую линию в 4 -х режимах.

Прибыль от реализации единицы продукции, изготовленной из сырья с малым содержанием примесей при различных режимах работы технологической линии, в среднем составляет соответственно 6,8, 9,1, 7,2, и 5,3 у.д.е.; из сырья со средним содержанием примесей — 4,5, 8,8, 5,1, и 6,2 у.д.е.; из сырья с большим содержанием примесей — 3,2, 1,2, 3,5, 2,3 у.д.е. Выбрать режимы работы технологической линии, при которой прибыль предприятия будет наибольшей. (=0,5).

32 Кафетерий «Сладкоежка» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Известно, что спрос на пирожные может составлять 200, 240, 280 и 300 штук. Затраты на производство одного пирожного составляют 5 ден.ед., а цена его реализации - 8 ден.ед. Если пирожные не продаются в течение 36 часов, они портятся и кафе несет убытки. Требуется определить но критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,4) какое количество пирожных следует выпекать.

33 Для отопления помещений приобретается топливо. Расход топлива и цены на него зависят от погоды зимой. Перед отопительным сезоном уголь может быть приобретен по минимальной цене (6 ден. ед. за 1 т). Предполагается, что продать оставшийся после зимы уголь не представляется возможным. В случае необходимости недостающее количество угля можно приобрести зимой (помещение для хранения угля вмещает до 6 тонн). Сколько угля следует запасти на зиму, чтобы затраты были минимальными. Исходные данные о зимних ценах на уголь и о количестве угля для отопления дома в зимний период приводятся в таблице 57. (=0,5).

Таблица 57 — Исходные данные

34 Кафетерий «Мечта» реализует кондитерские изделия собственного изготовления. Известно, что спрос на пирожные может составлять 100, 120, 140 и 160 штук. Затраты на производство одного пирожного составляют 6 ден.ед., а цена его реализации - 10 ден.ед. Если пирожные не продаются в течение 36 часов, они портятся и кафе несет убытки. Требуется определить но критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,5) какое количество пирожных следует выпекать.

35 Выбрать наилучшую стратегию, используя критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица (=0,3).

Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ и (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и др. Выделено четыре различных состояния (П₁, П₂, П₃ и П₄), каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояний «природы» и приводится таблице 58.

Таблица 58 Исходные данные