Решение.

Введем следующие обозначения:

Х_ij - количество зеленой массы, переводимое с i-го поля к j–й ферме;

С_ij — стоимость перевозки зеленой массы с i-го поля к j–й ферме;

А_i - количество зеленой массы на i-м поле;

В_j - потребность в зеленой массе j-й фермы.

В общем виде математическая модель задачи имеет следующий вид:

,

при ограничениях:

,

,

Развервугьтй вид модели:

minZ = С₁₁ x₁₁ + С₁₂ x₁₂ + С₁₃ х₁₃ + С₁₄ х₁₄ + С₂₁ х₂₁ + С₂₂ х₂₂ + C₂₃ x_2З + С₂₄ x₂₄ + С₃₁ х₃₁ + С₃₂ х₃₂ + С₃₃ х₃₃ + С₃₄ х₃₄ + С₄₁ х₄₁ + C₄₂ x₄₂ + С₄₃x₄₃ + С₄₄ x₄₄ + С₅₁ х₅₁ + С₅₂ х₅₂ + С₅₃ х₅₃ + С₅₄ х₅₄

при ограничениях:

x₁₁+ x₂₁ + x₃₁ + x₄₁+ x₅₁ = В₁,

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ + x₅₂ = В₂,

x₁₃+ x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ + x₅₃ = В₃,

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ + x₅₄ = В₄,

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + х₁₄ = а₁,

x₂₁+ x₂₂ + x_2З + x₂₄ = а₂,

x₃₁+ x₃₂ + x₃₃+ х_{34 =} а₃,

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ + х₄₄ = а₄,

x₅₁+ х₅₂ + x₅₃ + x₅₄ = а₅,

x_ij >= 0.

Математическая модель в численном виде записывается следующим образом:

найти minZ= 5х₁₁ + 6х₁₂ + 2х₁₃ + 2х₁₄ + 9х₂₁ + 7х₂₂ + 4x₂₁ + 6х₂₄ + 7х₃₁ + х₃₂ + 4х₃₃ + 5х₃₄ + 5х₄₁ + 2х₄₂ + 2х₄₃ + 4x₄₄ + 6x₅₁ + 4х₅₂ + 3х₅₃ + 4х₅₄

при ограничениях:

x₁₁ +x₂₁ +x₃₁ +х₄₁ +x₅₁ = 600,

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + х₄₂ + x₅₂ = 800,

x₁₃+ x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ + x₅₃ = 1400,

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ + х₅₄ = 1200,

x₁₁ + x_{12 +} x₁₃ + x₁₄ = 600,

x₂₁ + x_{22 +} x₂₃ + x₂₄ = 240,

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ = 1360,

х₄₁ + х₄₂ + x₄₃ + x₄₄ = 1000,

x₅₁+ х₅₂ + x₅₃ + x₅₄ = 800.

В результате решения задачи получаем следующий план перевозок:

х₃₁ = 560, х₄₁ = 40, х₃₂ = 800, х₂₃ = 240, х₁₃ = 960, х₅₃ = =200, x₁₄ = 600, х₅₄=600, Z= 12000.

Задания:

1Для выпуска продукции определенного вида используется два способа. Известны общее количество ресурсов В и А и их затраты на единицу продукции при каждом способе (таблица 5).

Таблица 5 — Исходные данные

Максимизировать выпуск продукции при данном объеме ресурсов.

2 При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 100 г) и фосфор (не менее 80 г). В таблице 6 приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и себестоимости (тыс. руб./кг) этих продуктов.

Определить оптимальный рацион из условия минимума себестоимости.

Таблица — 6 Исходные данные

3 Из листов размером 4 х 12 м выкроить заготовки прямоугольной формы размерами 3 х 3 и 2 х 3 метра и составить 90 комплектов, в каждый из которых входит 2 детали первого вида и 10 деталей второго. Определить, сколько листов и по какому варианту раскроить, чтобы использовать при этом минимальное количество листов.

4 Определить минимальное количество сырья, необходимого для производства двух видов продукции в объеме 85 единиц первого вида и 150 единиц второго вида при использовании двух технологических способов.

Нормы получения продукции из единицы сырья при каждом технологическом способе приведены в таблице 7.

Таблица 7 — Исходные данные

5 Определить минимальное количество сырья, необходимое для изготовления 26 изделий А и 96 изделий Б, используя четы ре технологические способа. Нормы выхода продукции из единицы сырья заданы в таблице 8.

Таблица 8 — Исходные данные

6 В сплаве должно содержаться не менее 8 единиц химического элемента А, 21 единиц — элемента Б и 16 единиц — элемента В. Предприятие закупает металлический лом двух видов: 1 и 2. В таблице 9 указано содержание химических элементов в ломе каждого вида и цена единицы лома. Минимизировать расходы при закупке необходимого предприятию металлического лома.

Таблица 9 — Исходные данные

7 Для производства столов и стульев имеются ресурсы трех видов: доски 1-го типа — 500 м, доски 2-го типа — 290 м и трудовые ресурсы 440 чел.-ч. От реализации столов организация получает прибыль в размере 12 у.д.е., стульев - 5 у.д.е. Затраты ресурсов на единицу изделия представлены в таблице 10.

Таблица 10 - Исходные данные

Определить выпуск продукции при максимальной прибыли.

8В два пункта А и В прибыло 30 вагонов с некоторым грузом, по 15 вагонов в каждый пункт. Все вагоны требуется доставить в пункты потребления С и Д, причем в пункт С необходимо доставить 10 вагонов, а в пункт Д — 20. Известно, что транспортировка одного вагона из пункта А в пункты С и Д стоит соответственно 1 и 3 денежные единицы, и из пункта В соответственно 2 и 5 единиц. Определить план перевозок, минимальный по стоимости.

9 Для изготовления двух видов продукции используется три вида сырья, нормы расхода сырья на единицу каждого вида продукции и стоимость единицы продукции указаны в таблице 11.

Таблица 11 Исходные данные

Максимизировать выпуск продукции.

10 В сплав может входить не менее 4 % никеля и не более 80 % железа. Для составления сплава используется три вида сырья, содержащего никель, железо и прочие вещества. Стоимость различных видов сырья и процентов содержания в нем соответствующих компонентов сплава представлены в таблице 12.

Таблица 12 — Исходные данные

Определить состав сырья, минимизирующий стоимость сплава.

11Цех выпускает три вида изделия. Производственные возможности цеха характеризуются данными

в) суточный фонд рабочего времени оборудования — 780 ч;

б) суточный расход сырья — 850 т;

в) суточный расход электроэнергии — 790 кВт. Ч;

Нормы затрат ресурсов на единицу продукции представлены в Таблице 13.

Таблица 13 — Исходные данные

Оптовая цена изделия 1 — 8 у.д.е., изделия 2 - 7 у.д.е., изделия 3 —6 у.д.е.. Максимизировать объем выпуска продукции.

12 Из листового проката определенной формы необходимо нарезать некоторое количество заготовок двух типов А и В для производства 90 штук изделий. Для одного изделия требуется 2 заготовки типа А и 10 заготовок типа В. Возможны четыре варианта раскроя одного листа проката. Количества заготовок А и В, вырезаемых из одного листа при каждом варианте раскроя, и отходы от раскроя указаны в таблице 14.

Таблица 14 — Исходные данные

Какое количество листов проката нужно раскроить каждым вариантом для изготовления 90 штук изделия, чтобы отходы от раскроя были минимальными.

13 Для изготовления изделий А, В, С и Д имеется 16 единиц ресурса первого вида, 1 10 единиц ресурса второго вида и 104 единицы ресурса третьего вида. Стоимость единицы изделия А 60 у.д.е., изделия В — 70 у.д.е., изделия С — 120 у.д.е. и изделия Д — 130 у.д.е. Определить максимальный выпуск продукции, если затраты ресурсов на единицу каждого ее вида следующие (таблица 15).

Таблица 15 — Исходные данные

14 Составить наиболее дешевый рацион из трех веществ. В состав рациона должно входить не менее 12 единиц вещества А, не менее 21 единицы вещества В и не менее 32 единиц вещества С. Имеется три вида продуктов (1,2 и 3), содержащих эти вещества в количествах, приведенных в таблице 16. Стоимость одной единицы продукта 1 составляет 20 у.д.е., продукта 2 — 20 у.д.е., продукта 3 — 10 у.д.е.

Таблица 16 — Исходные данные

15 Для производства четырех видов продукции затрачивается три вида ресурсов А, В и С. Затраты ресурсов на единицу продукции заданы в таблице. Известно, что от реализации первого вида продукции предприятие получает прибыль 3 у.д.е., второго - 4 у.д.е., третьего — 3 у.д.е. и четвертого — 1 у.д.е. Определить, какие виды продукции предприятие должно производить и в каком объеме, чтобы получить максимум дохода, если предприятие имеет ресурса А — 12 единиц, В — 8 единиц, С — 48 единиц (таблица 17).

Таблица 17 — Исходные данные

16 В смесь должно входить не менее 12 единиц вещества А, 21 единицы вещества В и 32 единицы вещества С. Вещества содержатся в трех продуктах в следующих пропорциях: в первом продукте вещества А — 1 единица, вещества В — З единицы и вещества С — 4 единицы, во втором продукте соответственно 1 — 2 — З и в третьем продукте 2 — 1 — 2. В каком количестве должны входить продукты в смесь, чтобы стоимость ее была минимальной, если учесть, что весовая единица первого продукта стоит 20 у.д.е., второго — 20 у.д.е., третьего — 10 у.д.е.

17 Необходимо из имеющегося сырья выпустить не менее 20 изделий А, 8 изделий Б, 60 изделий В. Известно, что из 2 единиц сырья первого вида и 1 единицы сырья второго вида получается одно изделие А , из 2 единиц сырья первого вида и 4 единиц второго вида — изделие Б, из 10 единиц сырья первого вида, 4 - второго и 2 единиц третьего получается одно изделие В. Единица сырья первого вида стоит 5 у.д.е., второго — 4 и третьего — 2 у.д.е. Определить затраты сырья каждого вида на производство всех изделий, минимизируя его общую стоимость.

18 Из листов материала размером 6 х 13 метров необходимо получить заготовки двух типов: типа А размером 4 х 5 метра - 800 штук и типа В размером 2 х 3 метра в количестве 400 штук. Составить план раскроя, при котором суммарные отходы были бы минимальными.

19 На предприятии имеется 400 тыс. литров алкилата, 250 тыс. литров крекинг-бензина, 350 тыс. литров бензина прямой перегонки и 100 тыс. литров изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуется три сорта авиационного бензина: А — 2:3:5:2, бензина Б — 4:1:2:1 и бензина С — 2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. литров бензина А равна 110 у.д.е., бензина Б — 100 у.д.е., бензина С — 150 у.д.е. Определить план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

20 Имеется четыре вида сырья: первого — 24 единицы, второго — 80, третьего — 10 и четвертого 6. Из этого сырья производится три вида продукции: А, В и С. Определить, сколько продукции каждого вида необходимо производить из имеющегося сырья для получения максимального дохода, если прибыль от реализации продукции А составляет 18 рублей, В — 12 у.д.е. и С 8 у.д.е. Нормы затрат сырья на единицу продукции следующие таблица 18).

Таблица 18— Исходные данные

21 Составить наиболее дешевую смесь из трех веществ. В состав должно входить не менее 6 единиц химического вещества А, не менее 8 единиц вещества В и не менее 12 вещества С. Имеется три вида продуктов (1, 2, 3), содержащих эти химические вещества в следующих количествах (таблица 19).

Таблица 19 — Исходные данные

Стоимость одной весовой единицы продукта 1 — 2 у.д.е., продукта 2 — 3 у.д.е., продукта 3 2,5 у. д.е.

22 На рынок в город привозят одним видом транспорта картофель 12 у.д.е, 11 у.д.е и 9 у.д.е. за килограмм из 1, 2 и 3 совхозов соответственно. На погрузку тонны картофеля ленточным методом требуется: в первой совхозе — 1 мин, во втором — 4 мин, в третьем —3 мин. Для своевременного поступления продукции на рынок необходимо, чтобы на погрузку 12 т., требуемых населению города на каждый день, затрачивалось не более 40 мин. Сколько надо привозить картофеля из этих совхозов, чтобы общая стоимость картофеля на рынке была минимальной, если известно, что 1 совхоз может ежедневно отправлять не более 10 т, 2 совхоз — не более 8 т, 3 совхоз — не более 6т?

23 Для изготовления изделий А, Б, В, Г используется три вида ресурсов. Затраты ресурсов на единицу продукции и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице. Определить, сколько и какой продукции надо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль (таблица 20).

Таблица 20 — Исходные данные

24 На двух станках разного типа необходимо изготовить пять видов изделий. Известны затраты времени на изготовление одного изделия на каждом станке и стоимость обработки единицы изделия (таблица 21).

Таблица 21 — Исходные данные

Сколько изделий каждого типа будет изготовлено, если фонд времени 1 – го станка 200 часов, 2-го— 300 часов. Фонд времени должен быть использован полностью, при этом необходимо добиться минимальной стоимости обработки.

25Составить план производства четырех деталей на участке, располагающем тремя группами оборудования. Добиться при этом минимальной стоимости изготовления деталей. Исходные данные в таблице 22.

Запланированный объем производства деталей — 5300 у.д.е. Оборудование должно быть загружено полностью.

Таблица 22 - Исходные данные

26 Груз, находящийся в пунктах А и В, необходимо перебазировать в пункты С и Д. В пунктах А и В имеются грузы соответственно на 6 и 4 машины. В пункты С и Д надо отправить соответственно 3 и 7 машин груза. Расстояния между пунктами в км. заданы следующей матрицей (таблица 23).

Таблица 23 — Исходные данные

Требуется спланировать перевозки так, чтобы суммарный пробег машин был наименьшим.

27 Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь - 100 ед., труд — 120 ед., тяга — 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции: 1, 2, 3, 4. Затраты на производство единицы каждого вида продукции и доход от их производства указаны в таблице 24.

Таблица 24 — Исходные данные

Определить план производства продукции, дающий максимальную сумму дохода.

28 Из листового материала размером 5 х 12 м необходимо получить заготовки трех типов: типа А размером 4 х 8 м в количестве 500 штук, типа В размером 1 х 4 м в количестве 1000 штук и типа С размером 2 х 6 м в количестве 100 штук. Составить план раскроя, минимизирующий расход исходного материала.

29 Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых соответственно 900, 400 и 300 кг. Количество

Пряжи каждого вида в кг, необходимой для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице 25.

Таблица 25 — Исходные данные

Определить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль.

30 Из листов стали размером 5 х 10 м выкроить детали двух видов, одну размером 3 х 6 м, другую размером 2 х 4 м, Из выкроенных деталей составить 60 комплектов, в каждый из которых входит 2 детали первого вида и З второго. Определить, сколько листов и по какому варианту нужно раскроить, чтобы минимизировать отходы.

31 Из листов стали размером 6 х 13 м выкроить детали двух видов, одну размером 4 х 5 м, другую размером 2 х 3 м. Деталей первого вида необходимо получить 800 штук, а деталей второго 400 штук. Определить, сколько листов и по какому варианту нужно раскроить, чтобы минимизировать отходы, предварительно составив варианты раскроя целых листов на детали.

32Планом определено строительство трех машиностроительных заводов с годовым выпуском продукции соответственно в 500, 800 и 850 млн. руб. Их продукция будет потребляться в 5 экономических районах, причем потребности первого района определены в 400 млн. руб., второго — 200, третьего — 300, четвертого — 200 и пятого — 650. Матрица расстояний между поставщиками и потребителями задана в таблице 26.

Таблица 26 — Исходные данные

Составить план закрепления экономических районов за поставщиками, который минимизировал бы суммарные грузоперевозки.

33 Распределить работу между тремя рабочими таким образом, чтобы максимизировать выпуск деталей трех видов. Трудоемкость изготовления деталей рабочими, их цена, а также фонд времени каждого рабочего приведены в таблице 27.

Таблица 27 — Исходные данные

34 Из пруткового проката длиной 2 м необходимо нарезать некоторое количество заготовок А и Б длиной соответственно 150 и 620 мм для производства 100 изделий. Для одного изделия требуется по 2 заготовки каждого типа. Возможны следующие варианты раскроя (таблица 28).

Таблица 28 — Исходные данные

Минимизировать общий расход материала при раскрое.

35 В мастерской освоено производство столов и тумбочек для торговой сети. Имеется два вида древесины — 72 м³ и 56 м³. На каждое изделие требуется определенное количество древесины каждого вида, приведенное в таблице 29.

Таблица 29 — Исходные данные

Кроме того, от производства одного стола может быть получен чистый доход в 1,1 ден. единиц, а от одной тумбочки 0,7 ден. единиц. Определить, сколько столов и тумбочек должна производить мастерская для получения максимального дохода.