Так, в ліву частину нерівностей виду

Перехід від нерівностей до рівнянь досягається введенням в кожну ліву частину нерівностей додаткової невід’ємної змінної xn+1 із певним знаком.

Усі обмеження задачі повинні мати вигляд строгих рівнянь.

Значення цільової функції повинно бути максимізовано.

О. І. Наровлянський

БІЗНЕСУ І ПРАВА

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

з вивчення дисципліни

"МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ І МЕТОДИ"

(Теоретичні відомості, зразки розв’язання задач, завдання для самостійного виконання )

для студентів денної та заочної форм навчання

за спеціальностями «Фінанси» та «Облік і аудит»

ЧЕРНІГІВ 2014

ПЕРЕДМОВА

Задачі дисципліни «Оптимізаційні моделі і методи» є математичними моделями багатьох природничих, виробничо-технологіч­них, соціально-економічних, еколого-економічних та інших реальних процесів, керувати якими без глибоких знань у галузі математичної теорії оптимізації та обчис­лювальної техніки на сьогоднішній день неможливо.

Тому дисципліна «Оптимізаційні моделі і методи» є особливо акту­альним розділом прикладної математичної науки, яким повинні оволодіти студенти більшості негуманітарних спеціальностей. До того ж в умовах ринкової економіки спеціалісти довільного профілю не можуть розв'язувати серйозні задачі без використання оптимізаційних підходів у своїй практичній діяльності.

Мета даного курсу - допомогти тим, хто тільки починає знайомство із задачами і методами оптимізаційного моделювання, сприяти формуванню у студентів інтересу до самостійної та науково-дослідної роботи в галузі побудови математичних оптимізаційних моделей реальних процесів і їх дослідження.

КАНОНІЧНА ФОРМА ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Загальна форма задачі лінійного програмування охоплює різні можливі варіанти обмежень: або тільки рівності, або тільки нерівності, або сполучення рівностей і нерівностей. Для спрощення побудови і застосування єдиного методу розв’язування, задачу, як правило, зводять до канонічної форми, а будь-яка задача лінійного програмування може бути зведена до канонічної форми.

Приклад 1.

Звести до канонічної форми задачу лінійного програмування:

L = 2 х₁ + 3х₂ - х₃ + 2 → min,

4х₁ - х₂ ≥ -5,

2х₂ + 3х₃ ≥ 15,

х₁ - 2х₃ ≤ 7,

х₁ , х₂ ≥ 0.

Розв’язання:

Перехід до канонічної форми задачі лінійного програмування будемо здійснювати в три етапи:

В умові задачі цільова функція мінімізується. Максимізуємо цільову функцію за допомогою заміни її на протилежну, тобто взяту з протилежним знаком.

Так як L = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n → min ó L = - c₁x₁ - c₂x₂ - … - c_nx_n → max, то для нашого прикладу маємо: L = -2 х₁ - 3х₂ + х₃ - 2 → mах

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n ≤ b_i

x_n+1 вводиться зі знаком “+”: a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n + x_n+1 = b_i, x_n+1 ≥ 0,