Примеры

Найти :

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 10

Дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид или где у – искомая функция от переменной х, .

Процесс решения ДУ называется его интегрированием.

а) ДУ с разделяющимися переменными имеет вид

(1)

Пусть и Разделим обе части уравнения (1) на произведение получим ДУ с разделенными переменными

(2)

Равенство (2) означает, что дифференциалы двух функций равны,, значит сами функции отличаются лишь на постоянное слагаемое. Интегрируя равенство (2), получим общее решение или общий интеграл ДУ (1)

Пример: Проинтегрировать ДУ

Разделим переменные и проинтегрируем обе части равенства

- общий интеграл исходного ДУ, где

Задание 11

а) Найти частное решение ДУ удовлетворяющее условию

Разделяем переменные

- общее решение данного уравнения.

Определим постоянную С так, чтобы выполнялось начальное условие

Получаем частное решение данного уравнения в виде

Линейное ДУ 1 порядка относительно функции и ее производной имеет вид

(3)

где и - заданные непрерывные функции.

Заменой решение ДУ (3) сводится к решению двух ДУ с разделяющимися переменными.

б)Найти частное решение ДУ (4)

удовлетворяющее начальному условию

Находим общее решение уравнения (4) с помощью замены Подставляем эту замену в уравнение (4)

Функции и определяем из условий

Общее решение ДУ (4) имеет вид

Определим С из начального условия

Искомое частное решение имеет вид

Задание 12

Исследовать числовые ряды на сходимость.

а)

;

б)

;

в)

;

Решение:

а) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Найдем к чему стремится его n-ый член при стремлении n к бесконечности:

.

Значит, необходимое условие сходимости ряда не выполняется и ряд расходится.

б) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Найдем к чему стремится его n-ый член при стремлении n к бесконечности:

.

Значит, необходимое условие сходимости ряда выполняется и ряд может как сходиться, так и расходиться.

Исследуем данный ряд по предельному признаку сравнения, согласно которому два ряда сходятся или расходятся одновременно, если . Так как в числителе максимальная степень n равна 1, а в знаменателе – 2, то сравнивать будем с гармоническим рядом (). Найдем предел отношения общих членов исходного и гармонического рядов при стремлении n к бесконечности:

.

Таким образом, по предельному признаку сравнения, исходный ряд и гармонический сходятся или расходятся одновременно. Так как гармонический ряд расходится, то расходится и исходный ряд.

в) Мы имеем ряд . Его члены положительны и убывают. Так как в числителе общего члена ряда присутствует факториал, а в знаменателе степень, то при проверке стремления этого члена при стремлении n к бесконечности получим довольно сложный предел:

,

то вычислять его не будем.

Исследуем данный ряд на сходимость по предельному признаку Д’Аламбера: если , то при данный ряд сходится, при ­– расходится, при ­– требуется исследовать по другим признакам.

Поскольку ,, то

.

Следовательно, данный ряд расходится.