Контрольная работа.
ВОПРОСЫ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
1. Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами.
2. Понятие комплексного числа. Представление комплексного числа в
тригонометрической и показательной форме.
3. Матрицы и действия над ними. Определение матрицы. Матрица-строка,
матрица-столбец, квадратная матрица, единичная матрица. Порядок матрицы.
4. Матрицы и действия над ними. Сумма матриц, разность матриц, произведение
матриц.
5. Определители матриц и их свойства.
6. Обратная матрица.
7. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса.
8. Алгебраические линии первого порядка. Прямая линия на плоскости.
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через
данную точку; уравнение прямой, проходящей через две данные точки;
уравнение прямой в отрезках; общее уравнение прямой. Формула расстояния от
точки до прямой.
9. Алгебраические линии второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение
окружности. Общее уравнение окружности.
10. Алгебраические линии второго порядка. Эллипс. Каноническое уравнение
эллипса.
11. Алгебраические линии второго порядка. Гипербола. Парабола.
12. Предел функции. Свойства предела функции. Важные пределы. Раскрытие
неопределённости (0/0) и (∞/∞).
13. Производная функции. Основные правила дифференцирования.
14. Производная функции. Производные тригонометрических функций.
Производная сложной функции.
15. Дифференциал функции.
16. Первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого
интеграла.
17. Неопределённый интеграл. Методы интегрирования: непосредственное
интегрирование; интегрирование подстановкой; интегрирование по частям.
18. Определённый интеграл. Основные понятия и определения.
19. Определённый интеграл. Методы вычисления определённого интеграла.
20. Дифференциальные уравнения, основные понятия и определения.
21. Дифференциальные уравнения. Методы решения различных
дифференциальных уравнений.
22. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Сходимость числовых
рядов.
23. Функциональные ряды, основные понятия и определения. Ряды Тейлора,
Маклорена.
24. Тригонометрические ряды, основные понятия и определения. Ряды Фурье.
25. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Определения
понятия вероятностей.
26. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Формула
полной вероятности. Формула Бейеса. Формула Бернулли.
Задание 1
Вычислить комплексное число. Ответ записать в алгебраической
форме.
| 1.1 | 
| 1.6 | 
|
| 1.2 | 
| 1.7 | 
|
| 1.3 | 
| 1.8 | 
|
| 1.4 | 
| 1.9 |  
|
| 1.5 | 
| 1.10 | 
|
Задание 2
Найти 
, если:
2.1. 
. 2.2. 
. 2.3. 
.
2.4. 
. 2.5. 
. 2.6. 
. 2.7.
. 2.8. 
. 2.9. 
.
2.10. 
.
Задание 3
Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса.
| 3.1 | 
| 3.2 | 
|
| 3.3 | 
| 3.4 | 
|
| 3.5 | 
| 3.6 | 
|
| 3.7 | 
| 3.8 | 
|
| 3.9 | 
| 3.10 | 
|
Задание 4
Даны вершины треугольника АВС. Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).
| Вар. | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.4 | 4.5 | 4.6 | 4.7 | 4.8 | 4.9 | 4.10 |
| А | (-7;-2) | (4;-4) | (-4;-2) | (0;2) | (4;-3) | (-4;2) | (-3;-2) | (-2;4) | (1;7) | (1;0) |
| В | (3;-8) | (8;2) | (8;-6) | (4;-4) | (7;3) | (6;-4) | (14;4) | (3;1) | (-3;-1) | (-1;4) |
| С | (-4;6) | (3;8) | (2;6) | (3;2) | (1;-16) | (4;10) | (6;8) | (10;7) | (11;-3) | (9;5) |
Задание 5
Установить, какая линия определяется уравнением. Изобразить ее на чертеже.
5.1
| 5.6
|
5.2
| 5.7
|
5.3 
| 5.8
|
5.4
| 5.9
|
5.5
| 5.10
|
Задание 6
Найти неопределенные интегралы следующих функций:
| 6.1 | а)  ;
| б) 
|
| 6.2 | а)  ;
| б) 
|
| 6.3 | а)  ;
| б) 
|
| 6.4 | а)  ;
| б) 
|
| 6.5 | а)  ;
| б) 
|
| 6.6 | а)  ;
| б) 
|
| 6.7 | а)  ;
| б) 
|
| 6.8 | а)  ;
| б) 
|
| 6.9 | а)  ;
| б) 
|
| 6.10 | а)  ;
| б) 
|
Задание 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у=ах2+bх+с и прямой у=kх+b. Сделать чертеж.
7.1 у = -х2 + 4х - 1; у = -х - 1.
7.2 у = х2 - 6х + 7; у = х + 1
7.3 у = -х2 + 6х -5; у = х - 5
7.4 у = х2 - 6х + 7; у = -х + 7
7.5 у =-х2 + 6х - 5; у = -х + 1
7.6 у = х2 + 6х + 7; у = х + 7
7.7 у = -х2 - 6х - 5; у = х + 1
7.8 у = х2 + 6х + 7; у = -х + 1
7.9 у = -х2 - 6х - 6; у = -х - 6
7.10 у = х2 - 4х + 1; у = х + 1
Задание 8. Найти пределы функций:
| 8.1 | а) 
| б) 
|
| 8.2 | а) 
| б) 
|
| 8.3 | а) 
| б) 
|
| 8.4 | а) 
| б) 
|
| 8.5 | а) 
| б) 
|
| 8.6 | а) 
| б) 
|
| 8.7 | а) 
| б) 
|
| 8.8 | а) 
| б) 
|
| 8.9 | а) 
| б) 
|
| 8.10 | а) 
| б) 
|
Задание 9
Найти производную 
следующих функций:
| 9.1 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.2 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.3 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.4 | а) 
| ||
| б)
| в) 
| ||
| 9.5 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.6 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.7 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.8 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.9 | а) 
| ||
б) 
| в) 
| ||
| 9.10 | а) 
| ||
б) 
| в) 
|
Задание 10. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
| 10.1 | 
| 10.6 | 
|
| 10.2 | 
| 10.7 | 
|
| 10.3 | 
| 10.8 | 
|
| 10.4 | 
| 10.9 | 
|
| 10.5 | 
| 10.10 | 
|
Задание 11. Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
.
| 11.1 |  ,  ;
| 11.6 |  ,  ;
|
| 11.2 |  ,  ;
| 11.7 |  ,
|
| 11.3 |  ,  ;
| 11.8 |  ,  ;
|
| 11.4 |  ,  ;
| 11.9 |  ,
|
| 11.5 |  , 
| 11.10 |  , ;
|
Задание 12.
Исследовать сходимость числовых рядов 
| Вар. | а) un | б) un | Вар. | а) un | б) un |
| 12.1 | 
| 
| 12.6 | 
| 
|
| 12.2 | 
| 
| 12.7 | 
| 
|
| 12.3 | 
| 
| 12.8 | 
| 
|
| 12.4 | 
| 
| 12.9 | 
| 
|
| 12.5 | 
| 
| 12.10 | 
| 
|
Решение типового варианта контрольной работы
Задание 1
Алгебраическая форма комплексных чисел :
где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть
Действия над комплексными числами :
Если 
то:
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2; б) (3 – 5i)2; в) (5 + 3i)3.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2*2*3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2*3*5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 3*25*3i + 3*5*9i2 + 27i3;
так как i2 = – 1, а i3 = – i, то получим (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – – 27i = – 10 + 198i.
Задание 2
Найти обратную матрицу для 
и выполнить проверку.
Решение
Вычисляем
следовательно, обратная матрица существует. Найдем присоединенную матрицу A*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:
Составим
и найдем по формуле обратную матрицу:
Проверка
Задание 3
Решить систему линейных алгебраических уравнений
двумя способами: 1) по формулам Крамера;
2) методом Гаусса.
Решение: 1) По формулам Крамера решение системы находим в виде
, 
, 
,
где 
– основной определитель системы, а 
– вспомогательные определители, получаемые из основного заменой i-го столбца столбцом свободных членов. При 
система имеет единственное решение. При 
решение следует искать другими методами.
Таким образом, имеем
.
Так как , то система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители:
,
,
.
Тогда, 
, 
, 
.
2) Для решения системы методом Гаусса составляется расширенная матрица системы, с которой можно проводить следующие действия:
а) все элементы какой-либо строки умножать или делить на одно и то же число;
б) к элементам какой-либо строки прибавлять соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Суть метода состоит в том, что с помощью этих преобразований, расширенная матрица сводится к треугольному или диагональному виду. Переходя обратно, от полученной матрицы к соответствующей системе, легко находим ее решение. Достоинство этого метода в том, что с его помощью можно решить любую систему линейных уравнений.
Составим расширенную матрицу данной системы и проведем преобразования:
При первом переходе, к элементам второй и третьей строк прибавляли соответствующие элементы первой строки, умноженные на –2 и –1, соответственно. В результате получили в первом столбце первый элемент равный 1, а под ней все нули.
При втором переходе, к элементам третьей строки прибавляли соответствующие элементы второй строки, умноженные на –1. В результате получили во втором столбце третий элемент равный нулю. Матрица приобрела
| треугольный вид. На этом прямой ход метода Гаусса закончен и можно перейти к системе, которая легко решается: | 
|
Но можно продолжить преобразования далее, получая нули и над элементами главной диагонали:
При первом переходе обратного хода метода Гаусса, элементы третьей строки разделили на 6, а затем к элементам первой и второй строк прибавляли соответствующие элементы полученной третьей строки, умноженные на –1 и 4, соответственно. В результате получили в последнем столбце последний элемент равный 1, а над ним все нули.
При втором переходе обратного хода метода Гаусса, элементы второй строки разделили на 3, а затем к элементам первой строки прибавляли соответствующие элементы полученной второй строки, умноженные на 1.
В результате получили все элементы главной диагонали равными 1, а остальные элементы равные нулю. Переходя к системе, получаем решение: 
Задание 4
Даны вершины треугольника А (1; 7), В ( 3; 4) и С (-2; -3). Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (АМ); г) точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).
Сделаем схематический рисунок треугольника АВС.
 |
а) Уравнение стороны (АВ) запишем по формуле 
Общее уравнение прямой (АВ): 
б) Угловой коэффициент прямой (АВ) определим из ее уравнения, записав его в виде 
, т.е. 
Тогда угловой коэффициент прямой 
определим из условия 
Уравнение прямой (СН): 
Общее уравнение высоты (СН): 
в) Находим координаты точки М – середины отрезка [CB]
Уравнение медианы (АМ): 
Общее уравнение медианы (АМ): 
г) Точку пересечения медианы (АМ) и высоты (СН) получим, решив систему из уравнений этих прямых:
д) Расстояние от точки 
до прямой 
вычисляется по формуле 
Расстояние от точки С (-2;-3) до прямой (АВ) 
Построим в системе координат АВС, прямые (СН), (АМ), т. D.
Задание 5
Установить, какая линия определяется уравнением
.
Сделать чертеж.
Решение:
Чтобы установить тип линии второго порядка, необходимо свести ее уравнение к каноническому виду. Для этого сначала с помощью поворота осей избавляются от слагаемого, содержащего произведение xy.
Так как в данном уравнении такого слагаемого нет, то переходим к следующему шагу. Это избавление от первых степеней тех переменных, квадраты которых присутствуют в уравнении. Аналитически это делаем как выделение полного квадрата:
.
Графически избавление от первых степеней проводится с помощью параллельного переноса. Для этого воспользуемся формулами преобразования координат 
и 
. Новым началом координат будет точка 
.
В новых координатах уравнение кривой примет вид: 
.
Таким образом, данная кривая является эллипсом, фокусы которого лежат на оси 
, большая полуось 
и малая полуось 
. Сделаем чертеж.
Ответ: эллипс.
Задание 6
При нахождении неопределенных интегралов следует использовать таблицу интегралов основных элементарных функций, свойства интегралов и формулу интегрирования по частям. Приведем некоторые формулы:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
Свойства:
1. 
2. 
Формула интегрирования по частям
или более кратко
Найти неопределенные интегралы:
1. 
2. 
3. 
Задание 7
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
и 
. Выполнить рисунок.
Решение: Найдем точки пересечения данных кривых:
, 
, 
.
Используя найденные точки  и  , построим фигуру, ограниченную линиями:
 – парабола с вершиной  и  – прямая.
Воспользуемся формулой вычисления площади плоской фигуры  , где  – уравнение верхней, а  – нижней границы области. В нашем случае, так как  и  , то
| 
|
.
Ответ: 
(кв. ед.).
Задание 8
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
| а) |  ;
| б) |  ;
| |
| в) |  ;
|
Решение: а) Предел частного равен частному пределов, если эти пределы существуют, конечны и знаменатель не равен нулю. В этом же примере в числителе и в знаменателе, при подстановке вместо x – бесконечности, получаем бесконечности. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида 
(бесконечность делить на бесконечность). Для раскрытия этой неопределенности целесообразно выделить элементы, порождающие эти бесконечности. Для этого и в числителе, и в знаменателе вынесем за скобку степень x с наибольшим показателем. В результате выражения в скобках будут стремиться к конечным пределам, а степени x за скобками сократятся. Решим данный пример:
.
б) В данном случае также не можем применить теорему о пределе частного, так как знаменатель стремиться к нулю. В числителе и в знаменателе при подстановке x=1 получаем нули. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида 
(ноль делить на ноль). Для раскрытия этой неопределенности целесообразно выделить элементы, порождающие нули (возможно, это будут множители вида (x–1)). Для этого и числитель, и знаменатель разложим на множители:
, 
.
Подставляя соответствующие выражения и сокращая общий множитель (x–1), стремящийся к нулю, но не равный ему, получим
.
в) В числителе и в знаменателе при подстановке x=0 получаем нули. Имеем неопределенность вида . Так как в примере присутствуют тригонометрические функции, то для раскрытия неопределенности можно применить первый замечательный предел: 
. Преобразуем выражение под знаком предела, используя тригонометрические формулы:
, так как 
и .
Задание 9
При нахождении производной заданных функций следует пользоваться таблицей производных основных элементарных функций, правилами дифференцирования и теоремой о дифференцировании сложной функции. Приведем некоторые формулы:
1. 
| 6. 
|
2. 
| 7. 
|
3. 
| 8. 
|
4.  ,
| 9. 
|
5.  ,
| 10. 
|
Правила дифференцирования:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Если 
т.е. 
- сложная функция, то
