Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов

Спектр S_T(f) = S(kDf) периодического сигнала s_T(t) с периодом Т дискретен (Df = 1/T). Спектр S(f) одиночного сигнала s(t), заданного на интервале Т, непрерывен и представляет собой спектральную плотность сигнала при T Þ ¥. Но периодический сигнал можно представить и в виде свертки одного периода с гребневой функцией Дирака:

s_T(t) = s(t) _* Ш_T(t).

При переходе в частотную область получаем:

S_T(f) = (1/T)×S(f)×Ш_1/T(f) = S(kDf),

S_T(f) = (1/T)S(f)d(f-k/T). (7.11)

Отсюда следует, что спектр периодического сигнала представляет собой дискретизированный спектр одиночного сигнала, нормированный на длительность периода.

С другой стороны, одиночный сигнал s(t) может быть получен из периодического сигнала s_T(t) умножением на селектирующий прямоугольный импульс П_T(t):

s(t) = s_T(t)×П_T(t).

Спектр одиночного сигнала:

S(f) = T×S_T(f) _* П_T(f) = ТS(kDf)×sinc[pT(f-k/T)], (7.12)

т.е. непрерывный спектр одиночного сигнала однозначно устанавливается по спектру периодического сигнала (интерполяция рядом Котельникова-Шеннона в частотной области).