Спектры некоторых сигналов

1. Единичные импульсы. Функция d(t), центрированная относительно t = 0, значения которой по определению равны нулю при t ¹ 0, a интеграл от - ¥ до ¥ равен 1, имеет равномерное спектральное распределение в бесконечной полосе частот от -∞ до ¥:

TF[d(t)] =d(t) exp(-jwt) dt = 1. (4.33)

Это следует и из свойства свертки функций, поскольку свертка функции с бесконечно коротким импульсом с единичной площадью не должна приводить к изменению функции:

s(t) _* d(t) = s(t).

Выполняя преобразование Фурье правой и левой части данного выражения, имеем:

S(w) H(w) = S(w),

что может быть реализовано только при H(w) = 1.

Отсюда следует также, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье:

d(t) = (1/2p)exp(jwt) dw. (4.34)

С учетом теоремы запаздывания (4.23), для обобщенной функции Дирака имеем:

d(t-t) Û exp(-jwt),

d(t-t)=(1/2p)exp(jw(t-t))dw.

Пример спектра функции приведен на рис. 4.24.

Рис. 4.24. Спектр функции d(t-2)

Для сигнала x(t), представляющего собой единичный короткий импульс произвольной формы с площадью, равной Р, сосредоточенной на малом интервале t около t=0:

X(w) =x(t) exp(-jwt) dt ≅ x(t) dt = P,

т.к. при малых t значение exp(±jwt) → 1, если t ≪ 2p/w. Отсюда следует важный практический вывод: короткий одиночный импульс произвольной формы имеет сплошной спектр и может быть выражен константой, пропорциональной площади импульса, в пределах интервала частот, период колебаний которых больше длительности импульса.

Если спектром весовой дельта-функции является константа, то на основе дуальности преобразования Фурье спектром константы должна быть весовая дельта-функция в нуле частотной оси.

С Û С×d(w).

Представить графически эту операцию для непрерывных функций невозможно. Но для дискретных спектральных функций с использованием весового импульса Кронекера она имеет вполне реальный смысл (рис. 4.25).

Рис. 4.25

С учетом дуальности преобразования Фурье, для d-функций в спектральной области соответственно имеем:

d(w-w_o) = exp(j(w-w_o)t) dt. (4.35)

2. Гребневая функцияШ_T(t) представляет собой последовательность импульсов Дирака с периодом Т = 1/F, где F- частота следования импульсов:

Ш_Т(t) =d(t-kT).

Спектр гребневой функции (с учетом теоремы запаздывания при Df = 1/T = F) также представляет собой последовательность импульсов Дирака:

Ш_Т(t) = (1/Т)exp(-2pjnDft) Û (1/T)d(f-kF) = F·Ш_F(f). (4.36)

3. Спектр прямоугольного импульса П_r(t) амплитудой U и длительностью r (рис. 4.4.2). При расположении начала координат по центру импульса:

П_r(w) =П_r(t)exp(-jwt) dt = U exp(-jwt) dt,

П_r(w) = rU sin(wr/2)/(wr/2) = rU sinc(wr/2). (4.37)

Вид функций П_r(w) приведен на рис. 4.26. Представлена только часть частотного диапазона, в остальной части диапазона постепенно затухающие флюктуации спектров, которые, чисто теоретически, простираются до бесконечности.

Рис. 4.26. П-импульсы

Как и следовало ожидать, для вещественной и четной динамической П-функции спектр сигнала также является вещественной и четной функцией частоты. Ширина главного пика по нулевому уровню обратно пропорциональна длительности импульсов и равна 4p/r. Значение спектральной плотности на нулевой частоте (амплитуда центрального пика) равно площади импульсов. Спектр имеет лепестковый характер, ширина лепестков (по пересечениям нулевой линии) равна 2p/r. Максимумы боковых лепестков равны 2Ur/((2n+1)p), где n = 1, 2, 3, … – номер бокового лепестка (от центра)

Рис. 4.27. Спектры П – импульсов Рис. 4.28. Спектры П-импульсов

Функция вида sin(x)/x в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение: sinc(x) = sin(x)/x. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.

На рис. 4.28 приведены нормированные по площади спектры этих же импульсов. При сравнении спектров с рис. 4.25 можно наглядно видеть характер зависимости ширины спектров (по ширине главного максимума) от длительности импульсов. Чем шире сигнал, тем короче его спектр. Форма спектра П - импульсов остается практически постоянной и только "растягивается" по шкале частоты при уменьшении длительности импульсов.

Если прямоугольный импульс начинается в момент времени t_o, то имеем:

П(w)= Uexp(-jwt)dt = rU sinc(wr/2) exp[-jw(t_o-r/2)]. (4.38)

Это выражение может быть получено непосредственно из (4.37) с использованием теоремы смещения. Вид функций П(w) при r = 50 и t_o = 50 приведен на рис. 4.29.

Рис. 4.29. Спектр задержанного П-импульса

Как видно на рисунке, спектр сигнала, несимметричного относительно t = 0, имеет две части: четную действительную A(w) = Re(П(w)), и нечетную мнимую B(w) = Im(П(w)). Модуль спектра R(w) = |П(w)| всегда четный, имеет только положительные значения и полностью повторяет |П_r(w)| четного импульса.

При изменении величины сдвига импульса модуль спектра остается без изменений, т.к. амплитуда частотных составляющих сигнала зависит только от его формы и не меняется от места расположения сигнала на координатной оси. Сдвиг сигнала определяет его фазовый спектр, пример которого для задержанного П-импульса приведен на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Фазовый спектр задержанного П-импульса (t_o = 50, r = 50)

Заметим, что фактический фазовый спектр сигнала имеет непрерывный характер. Пилообразная форма кривых на рис. 4.30 объясняется периодическим сбросом действительных значений фазы сигнала на величину p.

Учитывая, что значения функций на отрицательных частотах спектра комплексно сопряжены с положительными частотами и определены однозначно (четные функции А(w) и R(w), нечетные функции B(w) и j(w)), в дальнейшем спектры сигналов будем приводить только для области положительных частот.

Для количественной характеристики соотношения формы сигналов и их спектров применяют понятие базы сигнала, под которой понимают произведение эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра. Конкретное значение базы сигнала зависит от способа определения этих эффективных параметров. Если для прямоугольного импульса эффективную ширину спектра принять по длительности центрального пика (4p/r), то значение базы сигнала будет равно 4p.

Длительности сигналов и ширина их спектров связаны принципом неопределенности, которым устанавливается, что значение их произведения (база сигналов) не может быть меньше 1. Этим устанавливается, что не может существовать коротких сигналов с узким спектром. Напротив, максимальное значение базы сигналов не ограничивается, и могут существовать сигналы с большой базой, имеющие как большую длительность, так и широкий спектр.

Если прямоугольные импульсы повторяются с периодом Т, то соответственно при Dw = 1/Т имеем:

П_r(kDw) = (rU/T) sinc(kDwr/2) exp(-jkDw(t_o-r/2)). (4.39)

Как и положено, спектр периодического сигнала дискретен по w, а при снятии нормировки спектра на длительность периода (умножением на Т) огибающая спектра повторяет выражение (4.38).

4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r, откуда:

s(t) = П_r/2(t) _* П_r/2(t) Û S(w) = П_r/2(w)П_r/2(w),

S(w) = P sinc²(wr/4).

Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков 4p/r. Спектральная функция за счет квадратирования интегрального синуса имеет только положительные значения.

Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).

Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров (делением значений S(w) на площадь импульсов - значение S(0)) приведены на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Форма и спектры импульсов

Заметим, что обратная операция – аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет представить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.

5. Экспоненциальный импульс s(t) = U exp(-at), t ³ 0, a > 0.

Функция exp(-at) только условно может быть названа импульсом, т.к. определена и при t Þ ¥, но при а > 0 она достаточно быстро затухает. Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одностороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:

S(w) = Uexp(-(a+jw)t) dt = U/(a+jw). (4.40)

Функция S(w) бесконечна по частоте. Форма импульса, модуль и аргумент его спектра (фазовая характеристика в градусах) приведены на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Форма и спектр экспоненциального импульса

6. Функции Лапласа и Гаусса.Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем следующее преобразование:

U exp(-a|t|) Û 2aU/(a²+w²), a>0. (4.41)

Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представлена только действительной частью) приведены на рис. 4.32.

Преобразование для центрированной функции Гаусса:

U exp(-at²) Û Uexp(-w²/4a). (4.42)

Спектр центрированной функции Гаусса – также функция Гаусса. Форма функции и ее вещественный спектр приведены на рис. 4.33. Если эффективную длительность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума, то база сигнала равна 4.

Рис. 4.32. Функция Лапласа Рис. 4.33. Функция Гаусса

Сравнивая на рисунках 4.32 и 4.33 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом масштаба последних), нетрудно заметить, что чем больше гладкость сигнала (меньше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.

7. Гармонические колебания. Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функций. Гармонические, а в общем случае и все периодические функции в пространстве R(-¥, ¥), не обладают условием абсолютной интегрируемости. Спектральные плотности таких сигналов можно определить с использованием d-функций.

Допустим, имеем простейший периодический сигнал:

s(t) = A cos w_ot.

Разложим сигнал по формуле Эйлера и выполним преобразование Фурье, не обращая внимания на неинтегрируемость функции:

S(w) =s(t) exp(-jwt) dt = (A/2)[exp(jw_ot) + exp(-jw_ot)] exp(-jwt) dt =

= (A/2)exp(-j(w-w_o)t) dt + (A/2)exp(j(w+w_o)t) dt.

Но интегралы в этом выражении, с учетом выражения (4.26), представляют собой d-функции в частотной области. Следовательно:

A cos w_ot Û (A/2) [d(w-w_o)+d(w+w_o)]. (4.43)

Аналогично для синусной функции:

A sin w_ot Û (A/2) [d(w-w_o)-d(w+w_o)].

При обратном преобразовании Фурье соответственно получаем:

(A/2) d(w-w_o) Û (A/2) exp(-jw_ot),

(A/2) d(w+w_o) Û (A/2) exp(jw_ot),

(A/2) [d(w-w_o)+d(w+w_o)] Û A cos w_ot.

(A/2) [d(w-w_o)-d(w+w_o)] Û A sin w_ot.

Таким образом, спектральные плотности действительных гармонических сигналов с частотой w₀ и амплитудой A представляют собой пару дельта-функций с весом А/2, расположенных симметрично относительно w = 0 на частотах ±w₀ (рис. 4.34, A=1).

Рис. 4.34

При наличии во входном сигнале определенного сдвига фазы (w_o+j_o) выражения дополняется соответствующими множителями:

A cos(w_o+j_o)t Û (A/2) [exp(jj_o)d(w-w_o)+exp(-jj_o)d(w+w_o)].

8. Радиоимпульс. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники:

s(t) = u(t) cos(w_ot).

Спектр радиоимпульса:

S(w)=u(t) cos(w_ot) exp(-jwt)dt=u(t) ½[exp(jw_ot)+exp(-jw_ot)]exp(-jwt)dt =

= ½u(t) exp(jw_ot) exp(-jwt) dt + ½u(t) exp(-jw_ot) exp(-jwt) dt =

= ½ U(w) exp(jw_ot) + ½ U(w) exp(-jw_ot). (4.44)

Спектры сигналов обычно низкочастотные и сосредоточены в центре частотной оси. Частота гармоники заполнения, как правило, много больше максимальной частоты гармоник сигнала. Из (4.44) следует, что спектр сигнала раздваивается (с коэффициентом ½) и смешается влево и вправо по оси частот на частоты ±w_o. Особенно наглядно это видно для четных сигналов и приведено на рис. 4.35.

Рис. 4.35. Радиоимпульс и его амплитудный спектр

Можно пояснить это следующим образом. Если сигнал u(t) имеет спектр U(w), а гармонический сигнал заполнения имеет спектр в виде двух дельта-функций (см. 4.43), то произведение этих двух сигналов отображается в частотном представлении сверткой их спектров, т.е. сверткой спектра U(w) c дельта-функциями на частотах ±w₀, которая без изменения формы спектра U(w) переносит его на новые частоты в соответствии с весом дельта-функций (при А=1 уменьшает амплитудные значения спектра U(w) в 2 раза).

Лекция 5