Ряды Фурье

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) =S_n exp(jnDwt), S_n = S(nDw), Dw = 2p/T, (4.1)

где весовые коэффициенты S_n ряда определяются по формуле:

S_n = (1/T)s(t) exp(-jnDwt) dt. (4.2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jnDwt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(nDw) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2p/Т (или Df = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w₁ = 1×Dw = 2p/T (или f₁ = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nDw при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(nDw) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте Dw между двумя соседними синусоидами называется частотным разрешением спектра.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnDwt), -¥ < n < ¥ образует бесконечномерный базис линейного пространства L²[a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S_n по (4.2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (4.1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L²[a,b], точка с координатами S_n по базисным осям пространства exp(jnDwt).

Коэффициенты S_n в (4.2) отображают функцию s(t) в новое пространство единственным образом. Если функция s(t) непрерывна, то ряд (4.1) сходится равномерно к s(t), при этом ошибка аппроксимации ||s(t)-s_N(t)|| функции s(t) с усечением ряда (4.1) до ±N членов меньше ошибки аппроксимации любым другим рядом с тем же количеством членов. Если s(t) не является непрерывной (имеет разрывы), но конечна по энергии (квадратично интегрируема), то метрика ||s(t)-s_N(t)|| стремится к нулю при N → ∞, при этом в точках разрыва сумма ряда стремится к (s(t⁺)+s(t^-))/2.

Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.2) с использованием тождества Эйлера

exp(±jwt) = cos(wt) ± j×sin(wt)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S_n = (1/T)s(t) [cos(nDwt) - j sin(nDwt)] dt = А_n - jB_n. (4.3)

A_n ≡ A(nDw) = (1/T)s(t) cos(nDwt) dt, (4.4)

B_n ≡ B(nDw) = (1/T) s(t) sin(nDwt) dt. (4.5)

На рис. 4.1 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nDw) = A(-nDw), так как при вычислении значений A(nDw) по формуле (4.4) используется четная косинусная функция cos(nDwt) = cos(-nDwt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nDw) = -B(-nDw), так как для ее вычисления по (4.5) используется нечетная синусная функция

sin(nDwt) = - sin(-nDwt).

Рис. 4.1. Сигнал и его комплексный спектр

Комплексные числа дискретной функции (4.3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S_n = R_n exp(jj_n), (4.3')

R_n² ≡ R²(nDw) = A²(nDw)+B²(nDw),

j_n ≡ j(nDw) = arctg(-B(nDw)/A(nDw)).

Модуль спектра R(nDw) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ – амплитудно-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j(nDw)) – двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазочастотной характеристикой.

Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию:

R(nDw) = R(-nDw),

а спектр фаз нечетную:

j(nDw) = -j(-nDw).

Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4.1, приведен на рис. 4.2. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -p происходит сброс значения -2p).

Рис. 4.2. Модуль и аргумент спектра

Если функция s(t) является четной, то все значения B(nDw) по (4.5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nDwt) дает нулевой интеграл.

Рис. 4.3. Ортогональность функций

Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(nDw) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.3(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 4.3(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

При n = 0 имеем В_о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S₀ ≡ A_o ≡ R_o ≡ (1/T) s(t) dt.