В полупроводниках

Максвелловское время релаксации

Предположим, что в некотором ограниченном объёме однородного полупроводника удалось сосредоточить объёмный заряд подвижных носителей с не равной нулю начальной концентрацией . Например, путём инжекции неравновесных носителей. Структуру возникшего объёмного заряда пока уточнять не будем. Одновременно с объёмным зарядом возникнет электрическое поле, под действием которого подвижные носители благодаря взаимному отталкиванию одноимённых зарядов будут покидать объём, в котором первоначально были сосредоточены. Такое явление «рассасывания» заряда свободных носителей под действием собственного электрического поля получило название диэлектрической релаксации, или релаксации Максвелла.

Проанализируем темп убывания объёмной плотности заряда подвижных носителей в физически бесконечно малой окрестности некоторой точки наблюдения в объёме полупроводника, где в начальный момент времени объёмная плотность заряда оказалась отличной от нуля . Для анализа воспользуемся:

• уравнением непрерывности для полного заряда свободных носителей в форме

(1)

Явлением рекомбинации избыточных носителей пренебрежём. Оправданность такого приближения станет понятной позже;

• законом Ома в дифференциальной форме

; (2)

• первым уравнением Максвелла

. (3)

Примем для простоты, что относительную диэлектрическую проницаемость ε и удельную проводимость материала σ можно считать величинами постоянными. Подставляя (2) в (1) и учитывая, что σ = const, находим

. (4)

Подставив в (4) вместо правую часть (3), получим уравнение, которому подчиняется объёмная плотность заряда в окрестности выбранной точки наблюдения в ходе максвелловской релаксации

. (5)

Интегрируя дифференциальное уравнение (5) с учётом начального условия , найдём закон изменения во времени объёмной плотности заряда в окрестности выбранной точки исследования

, (1.5.40)

где

. (1.5.41)

Время τ_м, называемое временем диэлектрической релаксации или Максвелловским временем релаксации, есть характкрное время, в течение которого электронейтральность полупроводника оказывается нарушенной. Через время t ~ (3÷4) τ_м нескомпенсированный объёмный заряд практически полностью рассасывается, и электронейтральность материала восстанавливается. Проведём некоторые числовые оценки. Рассмотрим полупроводниковый кремний с удельным сопротивлением ρ ≈1 Ом∙см и удельной проводимостью σ ≈ 1Ом^-1см^-1. Относительная диэлектрическая проницаемость кремния ε ≈ 12, ε₀=8,85·10^-14Ф/см. Для Максвелловского времени релаксации такого материала получаем оценку

Эксперимент показывает, что τ_м оказывается значительно меньше времени жизни неравновесных неосновных носителей заряда (τ_М << τ_n ~ τ_р). Столь малое время диэлектрической релаксации позволяет считать, что для процессов с характерными частотами ω << 1/τ_М объём однородного полупроводника можно считать практически всегда квазинейтральным ().

Обсудим теперь характер релаксационных процессов в полупроводнике с учётом структуры начального объёмного заряда. Рассмотрим дырочный полупроводник, в котором создан нескомпенсированный заряд подвижных носителей ()

Случай 1.

Пусть объёмный заряд обусловлен основными носителями: . Поскольку электронов в окружающем объёме очень мало, то релаксация заряда (т.е. уменьшение δp) будет протекать путём ухода избыточных дырок из начального объёма. Процесс рассасывания избыточной концентрации дырок будет описываться выражением, подобным (1.5.40)

. (1)

Случай 2.

Пусть объёмный заряд обусловлен неосновными носителями δn(0) ≠ 0. Релаксация объёмного заряда ρ на начальном этапе длительностью ~ τ_М будет состоять в нейтрализации заряда избыточных электронов дырками, подтянутыми из внешнего объёма, где их очень много. Возрастание избыточной концентрации носителей противоположного знака в окрестности выбранной точки наблюдения будет протекать согласно закону

. (2)

После завершения нейтрализации объёмного заряда, т.е. через t≥ (3÷4)τ_М, избыточные концентрации носителей разного знака выровняются и далее будут согласованно убывать благодаря рекомбинации. Темп дальнейшей релаксации будет определяться временем жизни неосновных носителей τ_n, и процесс будет протекать гораздо медленнее, чем восстановление квазинейтральности (рис. 1.5.8). Рис. 1.5.8а показывает, что в случае, когда начальное зарядовое возмущение вызвано основными носителями, темп восстановления электронейтральности и установления диффузно-дрейфового равновесия определяется Максвелловским временем релаксации. Рис. 1.5.8б показывает, что в случае, когда начальное зарядовое возмущение вызвано неосновными носителями заряда, за время tτ_М облако избыточных неосновных носителей втягивает в себя основные носители из окружающего объёма.

Электронейтральность в объёме полупроводника быстро восстанавливается. Облако неосновных носителей, окутанное «шубой» основных носителей, начинает покидать место первоначального зарождения, диффундируя как сгусток элейтронейтральных частиц. Одновременно с диффузионным перераспределением неосновных носителей идёт процесс установления рекомбинационного равновесия между электронами в зоне проводимости, дырками в валентной зоне и зарядами, захваченными на ловушки. Характерная продолжительность такого релаксационного процесса определяется временем жизни неосновных носителей. Поскольку τ_n >> τ_М, он протекает гораздо дольше времени восстановления квазинейтральности.

Рис. 1.5.8. Схематическое изображение процессов зарядовой релаксации в дырочном полупроводнике: а – начальное возмущение вызвано основными носителями; б – начальное возмущение вызвано неосновными носителями.

восстановления квазинейтральности