Уравнение непрерывности.
Рассмотрим полупроводник, в котором в результате внешнего воздействия возникают неравновесные свободные носители заряда. Изменение с течением времени концентрации неравновесных носителей в любом физически бесконечно малом объёме полупроводника будет определяться не только генерацией и рекомбинацией свободных носителей заряда, но и движением заряженных частиц. Дифференциальное уравнение, которому подчиняется в этих условиях концентрация свободных носителей заряда, называют уравнением непрерывности.
Вывод уравнения непрерывности проведём в одномерном приближении, считая уровень возбуждения малым. Получим уравнение непрерывности для электронов. Рассмотрим физически бесконечно малый контрольный объём dΩ=dSdx, расположенный от x до x+dx (рис. 1.5.7). Изменение числа электронов в выделенном контрольном объёме может происходить в результате:
- генерации и рекомбинации носителей;
- втекания и вытекания носителей.
Полное изменение числа электронов dN в объёме dΩ за время dt в результате действия всех факторов равно
. (1)
Изменение числа электронов dN1 за счёт процессов генерации и рекомбинации равно
. (2)
Здесь мы учли, что уровень возбуждения предполагается малым, и потому использовали линейный закон рекомбинации (см. §1.4).
Изменение в контрольном объёме числа электронов dN2 за счёт процессов втекания и вытекания носителей вдоль оси OХ равно
. (3)
Рис.1.5.7.К выводу одномерного уравнения непрерывности для электронов.
Здесь Jn (шт/см2с) -проекция вектора плотности потока свободных электронов на ось OХ. Поскольку плоскости, через которые происходит втекание и вытекание носителей, находятся на малом расстоянии dx, то можно представить значение Jn(x+dx) в виде разложения функции Jn(х) в ряд Тейлора в окрестности точки с координатой x и ограничиться линейным приближением
. (4)
Подставив (4) в (3), находим
. (5)
Поскольку
dN = dN1+dN2 , (6)
то с учётом (1), (2) и (5) после сокращения на общий множитель dtdΩ получаем
. (1.5.23)
Это и есть уравнение непрерывности для электронов в случае, когда их концентрация зависит только от одной пространственной координаты x, а закон рекомбинации можно считать линейным. Для трёхмерного случая при линейном законе рекомбинации уравнение непрерывности для электронов примет вид
. (1.5.24)
Уравнение непрерывности для дырок при линейном законе рекомбинации имеет аналогичный вид. Для одномерного случая
. (1.5.25)
Для случая, когда концентрация и вектор плотности потока дырок зависят от времени и трёх пространственных переменных, имеем
. (1.5.26)
Между плотностью потока заряженных частиц и плотностью создаваемого ими полного тока существует линейная связь. Для дырок в проекции на ось ОХ она имеет вид
или
. (1.5.27)
Подставляя (1.5.27) в (1.5.25) и полагая коэффициент диффузии дырок не зависящим от координаты, получим ещё одну форму записи одномерного уравнения непрерывности для дырок
. (1.5.28)
Если в рассматриваемой области полупроводника напряженность электрического поля мала настолько, что дрейфовый механизм движения дырок можно не учитывать, то одномерное уравнение непрерывности для дырок принимает вид
. (1.5.29)
Аналогичные соотношения для электронов будут иметь вид
, (1.5.30)
. (1.5.31)
Если последним слагаемым правой части (1.5.31) можно пренебречь, то одномерное уравнение непрерывности для электронов примет вид
. (1.5.32)