Полупроводников

Удельная проводимость и удельное сопротивление

Дрейфовые токи. Подвижность носителей.

В полупроводниках

Движение свободных носителей заряда

Направленное движение свободных носителей заряда под действием макроскопического электрического поля называют дрейфом. Рассмотрим упрощённую одномерную модель дрейфового движения носителей вдоль оси ОХ, вдоль которой ориентировано внешнее электрическое поле напряжённостью . Пусть u – проекция усреднённой скорости дрейфа на выбранную ось. Предположим, что усреднённое дрейфовое движение подчиняется уравнению движения классической механики, и потому, опуская далее для краткости индекс проекции на ось ОХ, можем записать

. (1)

Здесь

(2)

проекция на выбранную ось силы, действующей на свободный носитель с зарядом q^алг со стороны макроскопического электрического поля; F_торм – проекция на выбранную ось тормозящей силы, действующей на движущийся носитель заряда со стороны проводящей среды; m^* - эффективная масса носителя. Предположим, что направленная противоположно движению свободного носителя заряда тормозящая сила зависит от скорости дрейфа подобно силе вязкого трения, т.е. F_торм ~ u. Учитывая, что сила торможения должна быть пропорциональна эффективной массе носителя, можем записать

. (3)

Параметр модели <τ> имеет смысл среднего времени существования упорядоченного движения носителей после выключения электрического поля (т.е. времени релаксации дрейфового движения). С учётом (2) и (3) уравнение (1) можно записать в виде

. (1.5.1)

В стационарном режиме du/dt = 0, и согласно (1.5.1) для стационарной скорости дрейфа получаем выражение

. (1.5.2)

Коэффициент пропорциональности между стационарной скоростью дрейфа и напряжённостью макроскопического электрического поля принято называть дрейфовой подвижностью свободных носителей заряда и обозначать через μ. Согласно закону Кулона свободные положительные носители заряда стремятся дрейфовать вдоль направления электрического поля, а отрицательные – противоположно полю. Присутствие в (1.5.2) алгебраической величины заряда носителя и призвано отразить этот факт. Попытаемся ввести временное определение алгебраического значения дрейфовой подвижности μ^алг с помощью формулы

. (1.5.3)

Далее мы убедимся, что это определение подвижности стоит уточнить. Считая μ^алг скалярной величиной, не зависящей от напряжённости электрического поля, перепишем формулу (1.5.2) в векторной форме

. (1.5.4)

Как известно, согласно определению, вектор плотности дрейфового тока считают сонаправленным с вектором скорости дрейфа для положительных носителей заряда и противонаправленным для отрицательных носителей. Поэтому для положительных носителей заряда подвижность следует считать положительной. В случае дрейфового движения электронов (рис. 1.5.1) указанную взаимосвязь целесообразно отобазить явно с помощью формулы

. (1.5.5)

Здесь n – концентрация свободных электронов в выбранной точке наблюдения, │q_n^алг│ = q - абсолютная величина заряда электрона, - его дрейфовая скорость. Согласно (1.5.5) размерность вектора плотности тока в системе СИ равна А/м². Учтём также в явном виде, что дрейфовая скорость электронов направлена противоположно вектору напряжённости макроскопического электрического поля, и запишем формулу (1.5.4) для электронов в виде

. (4)

Подставив (4) в (1.5.5), получим

. (5)

Для положительных свободных носителей заряда аналогичная формула будет иметь вид

. (6)

Сопоставление формул (5) и (6) показывает, что введение определения (1.5.3) для алгебраического значения подвижности не приносит большой пользы. В подавляющем большинстве случаев представляет интерес связь между вектором плотности дрейфового тока и вектором напряжённости макроскопического электрического поля в проводящей среде. А эти векторы оказываются сонаправленными для свободных носителей заряда любого знака. Поэтому под дрейфовой подвижностью электронов μ_n целесообразнее понимать положительную величину, определяемую равенством

. (1.5.6а)

Рис. 1.5.1. К определению вектора плотности дрейфового тока свободных носителей заряда

Аналогичную формулу для дрейфовой подвижности дырок следует записывать в виде

. (1.5.6б)

Тогда формула (5) для плотности дрейфового тока электронов примет более лаконичный вид

. (1.5.7)

Выражение для плотности дрейфового тока дырок будет иметь аналогичный вид, совпадающий с (6)

. (1.5.8)

Полная плотность дрейфового тока равна сумме электронной и дырочной составляющих

. (1.5.9)

Формула (1.5.9) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме

, (1.5.10)

где σ – удельная электрическая проводимость (удельная электропроводность) проводника. Сравнивая (1.5.9) и (1.5.10), видим, что для полупроводникового материала, в котором зарядоперенос осуществляют как электроны, так и дырки

. (1.5.11)

Эксперимент показывает, что в германии и кремнии подвижность электронов превышает подвижность дырок, но их отношение остаётся величиной порядка единицы. Поэтому в области примесной проводимости, где концентрация основных носителей на много порядков превосходит концентрацию неосновных, именно концентрация и подвижность основных носителей заряда определяют электрическую проводимость полупроводника. Так для электронного полупроводника с учётом (1.5.11) и (1.5.6) можем записать

. (1.5.11а)

Величину, обратную удельной проводимости, называют удельным сопротивлением материала и обозначают через ρ. Для полупроводника n – типа в области умеренных температур

(1.5.12)

Обсудим размерности величин σ, ρ и μ в системе СИ. Из закона Ома в дифференциальной форме (1.5.10) следует, что

, (1)

где учтено, что Ом=В/А. В системе СИ Ом^-1 = См (Сименс). Поэтому согласно (1) можем также записать

. (2)

В соответствии с определением ρ = 1/σ и формулой размерности (1) имеем

. (3)

В соответствии с равенством σ_n = qnμ_n (см. (1.5.12)) для размерности подвижности носителей заряда в системе СИ получаем

(4)

В микроэлектронике общеприняты следующие внесистемные единицы измерения

(5)

При Т = 300 К для собственного кремния n_i = 1.45∙10¹⁰ см^-3,

μ_n = 1417 см²/(В∙с), μ_р = 471 см²/(В∙с) /1, с 77/. Используя эти данные, согласно (1.5.11) для собственного кремния находим

σ = 1.602∙10^-19∙1.45∙10¹⁰(1417+471) = 4.386∙10^-6 Ом^-1∙см^-1.