В полупроводниках

Время жизни неравновесных носителей заряда

Если полупроводник вывести из состояния равновесия, создав неравновесную концентрацию свободных носителей, а затем предоставить его самому себе (адиабатически изолировать), то будет протекать процесс релаксации. С течением времени, когда темпы генерации и рекомбинации выровняются, восстановятся и равновесные концентрации свободных носителей заряда n₀ и p₀.

Поинтересуемся, как будут изменяться концентрации свободных носителей заряда в ходе такой релаксации. Для конкретности рассмотрим поведение свободных электронов, поведение дырок будет сходным. Темп или скорость процессов генерации и рекомбинации характеризуют количеством актов генерации или рекомбинации, происходящих в единице объема полупроводника за единицу времени. Эти величины обозначают через G и R соответственно и измеряют в см^-3с^-1. Пусть образец полупроводника однороден, и образовавшаяся избыточная концентрация свободных носителей также однородна (внешнее генерирующее воздействие оказалось однородным по объему. Например, это было слабо поглощаемое электромагнитное излучение). Тогда после прекращения внешнего генерирующего воздействия макроскопический зарядоперенос в ходе релаксации будет отсутствовать, и концентрация электронов в каждом физически бесконечно малом объеме образца будет подчиняться уравнению

. (1)

Здесь G=G₀+G_изб – полный темп генерации, а G₀ – темп равновесной тепловой генерации; R=R₀+R_изб – полный темп рекомбинации, а R₀ – темп равновесной рекомбинации. В состоянии равновесия концентрации свободных носителей заряда с течением времени не изменяются. Следовательно, G₀-R₀=0. Для однородно легированных полупроводников равновесная концентрация электронов также однородна и от времени не зависит. Поэтому в процессе однородной релаксации

. (2)

Если начальная концентрация электронов превышает равновесную , то в ходе релаксации производная , и правая часть уравнения (1) будет отрицательной. Пусть в ходе релаксации неравновесная генерация отсутствует, т.е. G_изб=0, и существует некоторая постоянная вероятность рекомбинации одного избыточного носителя за единицу времени. Тогда скорость изменения избыточной концентрации в каждый момент времени будет пропорциональна текущему значению избыточной концентрации, и релаксационное уравнение (1) можно записать в виде

. (1.4.2)

Коэффициент пропорциональности в (1.4.2) должен иметь размерность 1/с. Поэтому его можно записать как , где τ – некоторое характерное время, физический смысл которого еще предстоит выяснить. Уравнение (1.4.2) легко проинтегрировать. С учетом начального условия

(3)

получим

. (1.4.3)

Из (1.4.3) видно, что τ есть время, в течение которого концентрация избыточных носителей уменьшается в е раз. Его называют релаксационным временем жизни неравновесных носителей заряда.

Убедимся путём непосредственных вычислений, что характерное время τ представляет собой среднее время жизни неравновесных носителей заряда. Для упрощения последующих записей воспользуемся более удобным обозначением избыточной концентрации электронов («гибнущих» частиц) и перепишем (1.4.3) в виде:

. (1)

График этой функции изображён схематически на рис.1.4.2. По определению среднее время жизни избыточных носителей выражается формулой

, (2)

где - число частиц, проживших до “гибели” время t_i . Переходя в (2) к интегрированию, получим

. (3)

Введем переменную интегрирования x = t/τ и вычислим интеграл в (3), используя интегрирование по частям. Получим

N

N(0)

T

0 τ 2τ 3τ t

Рис. 1.4.2. Зависимость от времени концентрации избыточных свободных электронов в процессе перехода к состоянию равновесия (схематически)

(4)

Таким образом, характерное время τ, определяющее процесс релаксации неравновесных носителей заряда, равно:

• обратной величине вероятности рекомбинации одного избыточного носителя за единицу времени;
• времени, за которое избыточная концентрация уменьшится в е раз;
• среднему времени жизни неравновесных носителей заряда.

Аналогичные выводы можно сделать и для случая релаксации избыточной концентрации дырок, не сопровождающейся макроскопическим зарядопереносом.

Если скорость изменения избыточной концентрации неравновесных носителей пропорциональна избыточной концентрации, то рекомбинацию принято называть линейной, поскольку в этом случае релаксационное дифференциальное уравнение (1.4.2) оказывается линейным. При этом сама избыточная концентрация изменяется с течением времени по экспоненциальному закону (см. (1.4.3)).В процессе линейной рекомбинации переход носителя из свободного состояния в «связанное» происходит независимо от наличия избыточных носителей заряда другого знака. В самом деле, мы ведь полагаем, что вероятность 1/ τ - величина постоянная. А это значит, что речь идёт о процессе, в котором не происходит прямого соединения электрона и дырки, то есть речь идет о непрямой рекомбинации (см. п.1.4.1). Теория рекомбинации через рекомбинационные ловушки была разработана Шокли, Холлом и Ридом в середине прошлого века, и будет рассмотрена в курсе «Физика твёрдого тела». В рамках этой теории показано, что в области примесной проводимости время жизни неравновесной электронно-дырочной пары определяется только временем захвата на ловушки рекомбинации неосновных носителей. Как только неосновной носитель заряда захвачен рекомбинационной ловушкой, в тот же момент захватывается один из основных носителей заряда, концентрация которых на много порядков превосходит концентрацию неосновных носителей. Это дает основание вместо термина «время жизни неравновесной электронно-дырочной пары» употреблять термин «время жизни неосновных носителей заряда».

Соответствующее рассмотрение показывает, что линейному закону подчиняется и прямая рекомбинация, если уровень возбуждения достаточно мал.