Низкие и умеренные температуры

С примесью донорного типа

Уровень Ферми в невырожденном полупроводнике

 

Рассмотрим полупроводник, в который введена примесь только донорного типа: ND ≠ 0, NA = 0. В таком материале равновесная концентрация свободных электронов в зоне проводимости n0 образуется благодаря действию двух механизмов. Во-первых, благодаря переходам электронов из валентной зоны, сопровождающимся образованием положительно заряженных дырок с концентрацией p0. Во-вторых, благодаря переходам электронов с уровня донорной примеси, вследствие чего образуются положительно заряженные ионы доноров с концентрацией ND+ (см. рис. 1.1.4 б). Поэтому для состояния равновесия полупроводника n-типа, содержащего только донорную примесь, уравнение электронейтральности можно записать в виде:

. (1.3.8)

Рассмотрим это уравнение для различных интервалов температуры.

Поскольку для типичных доноров EС - ED << Eg, то при низких температурах основную роль будут играть переходы электронов с примесного уровня в зону проводимости, и потому p0 << Nd+ . В этой области температур уравнение электронейтральности (1.3.8) упрощается и принимает вид

. (1.3.9)

Предположим, что полупроводник остается невырожденным. В дальнейшем это предположение можно будет проверить на самосогласованность. Используя выражения (1.2.6) и (1.2.17) для n0и ND+, согласно (1.3.9) получаем

. (1.3.10)

Решив это уравнение, мы сможем найти положение уровня Ферми EF в зависимости от температуры, концентрации доноров ND и энергии донорного уровня ED. Потом, зная положение EF, по формуле (1.2.6) сможем найти равновесную концентрацию свободных электронов n0. Учитывая, что полупроводник невырожденный, по формуле (1.2.15а) сможем найти и равновесную концентрацию дырок

(1.3.11)

Перейдем к решению уравнения (1.3.10). Для упрощения записи введем обозначение

(1)

и перепишем уравнение (1.3.10) в виде

(2)

или

. (3)

Решив квадратное уравнение, получим

. (4)

Согласно (1) x > 0, поэтому далее будем использовать только положительный корень уравнения

. (5)

Из (5) при учете (1) получаем формулу для расчёта положения уровня Ферми в области низких и умеренных температур

. (1.3.12)

В рассматриваемой области температур можно выделить область очень низких температур, когда выполняется условие

>>1 . (6)

В этом случае выражение (1.3.12) упрощается и приводится к виду

, (7)

или

. (1.3.13)

Согласно (1.3.13), при ,т.е. уровень Ферми стремится занять положение посередине между дном зоны приводимости и донорным уровнем. Более подробное рассмотрение показало бы, что при повышении температуры уровень Ферми слегка повышается, проходит при некоторой температуре через максимум, а затем начинает опускаться. При температуре, когда выполняется равенство , он снова находится посередине между EC и ED и при дальнейшем росте температуры продолжает понижаться (рис. 1.3.1 а).

Найдем равновесную концентрацию электронов в области очень низких температур. Воспользуемся формулой (1.2.6) для концентрации электронов невырожденного полупроводника и формулой (1.3.13), определяющей положениеуровня Ферми в этой области температур

.

После несложных преобразований для области очень низких температур получим

. (1.3.14)

Из (1.3.14) следует:

  • в области очень низких температур концентрация свободных электронов с ростом температуры возрастает экспоненциально - по закону Аррениуса;
  • энергия активации для температурной зависимости концентрации электронов в области очень низких температур чрезвычайно мала и составляет величину ;
  • в области очень низких температур .

Рассмотренная область очень низких температур является областью слабой ионизации примеси, или, как её ещё называют, областью вымораживания примеси.

 

Рис.1.3.1 Температурная зависимость положения уровня Ферми (а) и концентрации свободных электронов (б) для полупроводника с донорной примесью при двух уровнях легирования: (1) – ND1, (2) – ND2, и ND2 > ND1 (схематически)

 

Рассмотрим теперь область не очень низких, а умеренных температур. Однако будем полагать, что формула (1.3.12) остается справедливой и для этой области. Благодаря достаточно быстрому росту NС(T) и малому значению (EС – ED)в этой области вместо условия (6) выполняется противоположное ему условие

<< 1, (8)

что возможно, если

>> . (9)

В этом случае выражение для радикала в (1.3.12) можно разложить в ряд по малому параметру и ограничиться членами первого порядка малости

. (10)

В соответствии с (10) из (1.3.12) получаем

, (11)

или окончательно

. (1.3.15)

Поскольку формула (1.3.15) справедлива при NС >> ND(см. (9)), то логарифм в (1.3.15) отрицателен. Следовательно, с ростом температуры в области умеренных её значений уровень Ферми понижается (см. рис. 1.3.1а).

Подставив (1.3.15) в (1.2.6), найдем равновесную концентрацию электронов для рассматриваемой области умеренных температур

,

или

. (1.3.16)

Концентрация дырок при этом подчиняется формуле (1.3.11), которая с учётом (1.3.16) принимает вид

. (1.3.17)

Итак, для области умеренных температур концентрация основных носителей – электронов – не зависит от температуры и равна концентрации донорной примеси. Эту область называют областью истощения примеси (см. рис. 1.3.1б). Она является рабочей для полупроводниковых и микроэлектронных приборов. При этом концентрация неосновных носителей – дырок – согласно (1.3.17) экспоненциально возрастает с ростом температуры с энергией активации, равной ширине запрещенной зоны полупроводника.

 

Отметим:

  • если можно принять, что в области умеренных температур выполняются условия <<и , то формула (1.3.16) сразу же следует из уравнения электронейтральности в форме (1.3.9);
  • если можно принять, что в области умеренных температур , то, используя формулу (1.2.6), можем записать, что , откуда сразу же следует формула (1.3.15), описывающая положение уровня Ферми в области умеренных температур.

Опираясь на полученные формулы, можно убедиться, что предположение о невырожденности полупроводника в области низких и умеренных температур является самосогласованным. Убедимся в этом путём вычислений для области Т ~ 300 К, полагая для кремния ND ~ (1015 1018) см-3. Воспользуемся формулой (1.3.15), представив её в виде

. (1)

Как нам уже известно, при Т = 300 К NС = 2.5∙1019 см-3, kT = 2.586∙10-2 эВ.

Для ND = 1015 см-3 имеем:

= 2.586∙10-2∙= 0.262 эВ. (2)

Для ND = 1017 см-3 имеем:

= 2.586∙10-2∙= 0.143 эВ. (3)

Для ND = 1018 см-3 имеем:

= 2.586∙10-2∙= 0.083 эВ. (4)