Полупроводника

Равновесная концентрация дырок в валентной зоне. Закон действующих масс для невырожденного

Равновесная концентрация дырок в валентной зоне p_o может быть рассчитана по формуле, аналогичной (1.2.1)

, (1.2.8)

где N_p(E) – энергетическая плотность электронных состояний валентной зоны с учетом спина электрона, f_op(E,T) – равновесная вероятность того, что при температуре Т уровень с энергией Е остаётся вакантным, т.е. будет занят дыркой. В соответствии с этим определением и формулой (1.2.2)

f_op(E,T) = 1 – f_on(E,T) = 1 - = . (1.2.9)

Для уровней валентной зоны невырожденного полупроводника выполняется условие >> 1, и потому

, (1.2.10)

т.е. дырки валентной зоны, так же как и электроны зоны проводимости, подчиняются фактически статистике Больцмана. Формула (1.2.10) показывает, что для уровней валентной зоны вероятность оказаться вакантными, т.е занятыми дырками, очень быстро убывает с уменьшением энергии уровня. Это значит, что основная часть дырок располагается вблизи потолка валентной зоны и потому допустимо:

а) использовать в качестве N_p(E) для всей валентной зоны функцию (1.1.3)

; (1.2.11)

б) устремить в (1.2.8) нижний предел интегрирования к минус бесконечности ().

В итоге, используя для f_op(E,T) точное выражение (1.2.9) и приближённое выражение (1.2.11) для N_p(E), для вычисления равновесной концентрации дырок в валентной зоне получаем выражение

. (1.2.12)

В курсе физики твёрдого тела будет показано, что для невырожденного полупроводника интегрирование в (1.2.12) приводит к выражению

. (1.2.13)

Величину N_V (см^-3) называют эффективной плотностью состояний в валентной зоне и вычисляют по формуле

N_V = =

= . (1.2.14)

Здесь m_dp* - эффективная масса дырки в валентной зоне. Согласно (1.2.14) при Т = 300К и N_V » 2.5*10¹⁹см^-3. По физическому смыслу величина N_V близка к количеству уровней валентной зоны, приходящихся на 1 см³ в интервале энергий от E_V – kT до E_V.

Легко убедиться, что для невырожденного полупроводника произведение равновесных концентраций электронов и дырок не зависит от положения уровня Ферми, а определяется только температурой и шириной запрещенной зоны. В самом деле, согласно (1.2.6) и (1.2.13)

=

или

. (1.2.15)

Последнее равенство принято называть законом действующих масс для невырожденного полупроводника. Формула (1.2.15) позволяет, зная E_g и равновесную концентрацию свободных носителей одного вида, найти равновесную при данной температуре концентрацию свободных носителей другого вида. Как мы убедимся далее, собственные, т.е. беспримесные, полупроводники являются невырожденными. Для собственных полупроводников n_i = p_i и согласно (1.2.15) получаем

. (1.2.15а)

Это позволяет переписать формулу (1.2.15) в виде

. (1.2.15б)

Из (1.2.15б) и (1.2.15) легко получить формулу, описывающую температурную зависимость концентрации свободных носителей заряда в собственном полупроводнике

(1.2.16)

или, после логарифмирования,

. (1.2.16а)

На рис. 1.2.1 эта зависимость показана для германия, кремния и арсенида галлия. По оси ординат отложен натуральный логарифм собственной концентрации, выраженной в см^-3, а по оси абсцисс – обратная температура в К^-1.

Рис. 1.2.1. Зависимость от температуры собственной концентрации (см^-3) свободных носителей заряда в Ge, Si и GaAs в интервале температур от 100 до 1200 К.