Плотность электронных состояний

Компенсированные полупроводники

До сих пор мы предполагали наличие в полупроводнике примеси одного какого-то типа – донорного или акцепторного. В реальных материалах могут быть равномерно распределены по объёму примеси обоих типов, но в разных концентрациях. Обозначим их через N_D и N_A соответственно. В этих случаях электронам с донорных уровней, расположенных в верхней части запрещённой зоны, энергетически выгоднее перейти не в зону проводимости, а на акцепторные уровни, расположенные в нижней части запрещённой зоны. В результате образуются положительно и отрицательно заряженные ионы, жёстко связанные с решёткой, но свободных носителей заряда не возникает. Об этом явлении говорят как о взаимной компенсации доноров и акцепторов. В образовании свободных носителей могут участвовать только те примесные центры, которые не скомпенсированы примесями противоположного типа. В результате эффективная концентрация легирующей примеси, способной участвовать в образовании свободных носителей заряда, оказывается практически равной абсолютной величине разности между концентрациями доноров и акцепторов |N_D - N_A|. При N_D > N_A полупроводник имеет проводимость n-типа. При N_D < N_A – проводимость р-типа. При N_D = N_A имеет место полная компенсация, и концентрация свободных носителей близка к собственной даже при Т << Т_i . По технологическим причинам полной компенсации можно добиться только в очень тонких слоях полупроводникового материала.

Все важнейшие процессы в полупроводниковых приборах можно понять, рассматривая только две смежные зоны разрешённых энергий – валентную зону и зону проводимости, разделённые запрещённой зоной шириной E_g, содержащей определённое количество локализованных электронных уровней. При этом важно знать характер распределения разрешённых уровней вблизи «дна» зоны проводимости и «потолка» валентной зоны, где вероятнее всего и могут находиться свободные носители заряда. Благодаря очень близкому расположению уровней в разрешённых зонах (∆E_min ~ ∆E_зоны/N ~ 1эВ/N ~10^-23 эВ) их распределение по энергиям можно описывать в континуальном приближении, т.е. с помощью непрерывной функции энергии, получившей название энергетической плотности состояний. Энергетическую плотность состояний для зоны проводимости обозначим через N_n = N_n(E) и определим равенством

, (1.1.1)

где ∆N – количество разрешённых электронных состояний в зоне проводимости полупроводника с энергиями от Е до Е+∆Е, V – объём полупроводника. Величина ∆N/V представляет собой количество электронных состояний с энергиями от Е до Е+∆Е, приходящихся на единицу объёма полупроводника. Аналогичным образом определяется функция N_p = N_p(E) – энергетическая плотность состояний в валентной зоне. Обе функции N_n и N_p имеют размерность см^-3эВ^-1.

В курсе физики твёрдого тела будет показано, что в случае, когда в пространстве квазиимпульсов поверхности равной энергии вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны сферически симметричны, функции N_n и N_p имеют вид

, (1.1.2)

. (1.1.3)

Величины m_dn^* и m_dp^* - это так называемые эффективные массы для плотности состояний электронов и дырок соответственно. В грубом приближении их можно считать равными массе покоя свободного электрона m₀ = 0.911∙10^-30кг, т.е. m_dn^* ~ m_dp^* ~ m₀ /1/. Величина h = 6.626∙10^-34 Дж∙с есть постоянная Планка; Е_С – уровень дна зоны проводимости, Е_V – уровень потолка валентной зоны. На рис 1.1.6 показаны схематически графики зависимости энергетической плотности состояния (1.1.2) и (1.1.3) от энергии вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Рис. 1.1.6. Зависимость энергетических плотностей состояний и от энергии вблизи потолка валентной зоны и дна зоны проводимости (схематически)