В полярной системе координат
Вычисление площадей плоских фигур
Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линией , заданной в полярной системе координат уравнением , bb. За базовую фигуру в полярной системе координат принимается криволинейный сектор — фигура, ограниченная линией и радиусами-векторами , . При этом криволинейный сектор будем считать правильной фигурой, т. е. такой, что любой луч , bb, исходящий из полюса , пересекает линию не более, чем в одной точке. Будем также предполагать, что функция непрерывна на отрезке .
Для вычисления площади криволинейного сектора применим алгоритм составления интегральной суммы с последующим предельным переходом к определенному интегралу.
1. Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Обозначим , . Проведем лучи ,. Тогда криволинейный сектор разобьется на частичных криволинейных секторов.
2. На каждом частичном отрезке , выберем произвольным образом точку и найдем значения функции в этих точках: .
|
3. Предположим, что на каждом из частичных отрезков функция постоянна и совпадает со значением . Тогда каждый частичный криволинейный сектор можно заменить круговым сектором с радиусом и центральным углом . Площадь такого кругового сектора вычисляется по формуле
.
Тогда
. (1)
Приближенное равенство тем точнее, чем меньше частичные отрезки, т. е. чем больше .
4. За точное значение площади S криволинейного сектора можно принять предел интегральной суммы (1) при .
.
Таким образом, площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле
.
Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной , r0.
Решение. Найдем область определения данной функции.
r0
r0
r0
bb
bb,
при bb,
при bb,
при bb,
при bb,
На интервале от 0 до функция определена на трех участках. Изобразим график функции на рисунке.
Так как функция периодическая, то