Интегрирование некоторых иррациональных функций

Подынтегральная функция рациональна относительно . Заметим, что с помощью универсальной подстановки очень удобно вычислять интегралы вида .

Пример.Найти .

Решение. Применим универсальную подстановку :

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида , однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

В частности, при вычислении интегралов вида можно воспользоваться следующими рекомендациями:

1. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то применяется подстановка =.

2. Если подынтегральная функция нечетна относительно , т. е. , то используют подстановку = .

3. Если подынтегральная функция четна относительно и , т. е. , то применяется подстановка .

Пример. Найти .

Решение. Подынтегральная функция четна относительно и . Применяем подстановку :

Интегралы вида (, ,r0, r0). Если хотя бы одно из чисел или — нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через вторую функцию, приходим к табличному интегралу.

Пример.Найти .

Решение.

Если же и — четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул.

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную, выраженную через конечное число элементарных функций. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интегралы вида (—целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от . Они вычисляются подстановкой , где — общий знаменатель дробей При такой замене переменной все дроби являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной .