Характеристики форми розподілу

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу розподілу.

Однорідність сукупності – передумова використання інших статистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність властивостей елементів, а лише наявність у них спільного в істотному, головному.

В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. У такому разі необхідно перегрупувати дані, виокремити однорідні групи. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації.

АсиметріяА_х характеризує ступінь несиметричності розподілу відносно його середнього. Позитивна асиметрія вказує на відхилення вершини розподілу в бік від'ємних значень, негативна – у бік додатних.

Коефіцієнт асиметрії вираховується за формулою:

Де z_x – міра Пірсона

Негативна асиметрія, симетричний розподіл Позитивна асиметрія

А_s˂0 А_s=0 А_s˃0

Мал. 5.3. Типи асиметрій

Відповідність емпіричного розподілу нормальному знаходиться за відповідними таблицями. При цьому емпіричний розподіл вважається відповідним теоретичного (нормальному), якщо асиметрія при даній вибірці не перевищує граничного значення (As_эксп. < As_кр).

Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена ліворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки. Зазначимо, що асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка призводить до зміщення центра розподілу. Ступінь асиметрії різний – від помірного до значного. Рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти.

Як уже зазначалося, у симетричному розподілі характеристики центра – середня, мода, медіана – мають однакові значення, в асиметричному між ними існують певні розбіжності.

Причини асиметрії можуть бути різними. По-перше, це можлива дія побічних односпрямованих факторів. Так, наприклад, в тестах на вимірювання інтелекту можуть переважати складні завдання, з якими більшість досліджуваних не справляється. Це може з'явитися причиною позитивної асиметрії (центральна тенденція лежить зліва від середнього значення). По-друге, це обмеження (зверху чи знизу) розмаху варіацій. Наприклад, при вимірюванні часу сенсомоторної реакції нижня межа реагування лімітований фізіологічними можливостями суб'єкта, в той час як верхній жорстко не обмежений. Нарешті, третьою причиною асиметрії може бути неоднорідність вибірки (наприклад, якщо дослідження проводиться в змішаній групі різного віку). При цьому має місце накладення один на одного двох або декількох різних за чисельністю і зсунутих відносно один одного по моді розподілів.

Іншою властивістю одновершинних розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу. ЕксцесE_x характеризує відносну опуклість або згладженість розподілу вибірки порівняно з нормальним розподілом. Позитивний ексцес позначає відносно загострений розподіл, негативний – відносно згладжений. Причинами ексцесу можуть бути більша або менша ступінь тяжіння змінних до центральної тенденції, неоднорідність вибірки, накладення один на одного декількох розподілів з однаковою модою та різною дисперсією і т. д. Вирахування показнику ексцесу за формулою:

Плосковершинний Нормальний Гостровершинний

розподіл розподіл розподіл

Ex < 0 Ex = 0 Ex > 0

5.4. Типи ексцесу

Теоретично величина ексцесу може варіювати від – 3 до + ∞. Критерій згоди з нормальним розподілом аналогічно коефіцієнту асиметрії визначається за таблицями граничних значень.

Аналогічно визначенню асиметрії розподіл відповідає нормальному (узгоджується з нормальним), якщо Ex < Ex_кр. При зворотному співвідношенні прийнято говорити, що за показником ексцесу емпіричне розподіл статистично достовірно відрізняється від нормального.

Асиметрія та ексцес – дві пов’язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі центральних моментів розподілу.

При аналізі емпіричного розподілу може виникнути така ситуація, коли за одним з показників (асиметрії або ексцесу) розподіл відповідає нормальному, за іншим же – відрізняється від нього. У цьому випадку слід використовувати наступне правило: якщо хоча б по одному з вищевказаних показників розподіл достовірно відрізняється від нормального, то слід робити висновок про те, що експериментальний розподіл відрізняється від теоретичного (нормального).

Крім коефіцієнта асиметрії та показника ексцесу, для порівняння експериментального розподілу з теоретичним використовують і інші критерії, зокрема критерій хі-квадрат і критерій λ Колмогорова-Смірнова.

3. Критерій хі-квадрат (χ²) Пірсона

Критерій хі-квадрат заснований на порівнянні між собою емпіричних (експериментальних) частот досліджуваної ознаки і теоретичних частот нормального розподілу. Його називають ще критерієм згоди (емпіричного та теоретичного розподілу).

Використовується у випадках:

· для співставлення емпіричного розподілу ознаки з теоретичним – рівномірним, нормальним або іншим;

· для співставлення двох, трьох або більше емпіричних розподілів однієї і тієї ж ознаки.

Критерій χ²дає відповідь на питання чи з однаковою частотою зустрічаються різні значення ознаки в емпіричному та теоретичному розподілі або в двох та більше емпіричних розподілах.

де f_ei – емпірична частота за і розрядом ознаки;

f_T – теоретична частота;

i – порядковий номер розряду;

k – кількість розрядів ознаки.

Обмеження критерію:

1. Об’єм вибірки повинен бути достатньо великим: n≥30. При n˂30 критерій χ² дає досить наближені значення. Точність критерію збільшується при великих n.

2. Теоретична частота для кожної клітинки таблички не повинна бути менше 5: f≥5. Це значить, що якщо число розрядів задане раніше і не може бути змінене, то ми не можемо використовувати метод χ², не накопичивши відповідного мінімального числа спостережень. Таким чином, якщо кількість розрядів (k) задана раніше, то мінімальне число спостережень (n_min) визначається за формулою: n_min=k·5.

3. Вибрані розряди повинні «вичерпувати» весь розподіл, тобто охоплювати весь діапазон варіативності ознак. При цьому групування на розряди повинна бути однакова у всіх розподілах співставлення.

4. Необхідно вносити «поправку на неперервність» при співставленні розподілів ознак, які набувають всього 2 значення. При внесенні поправки значення χ² зменшується (на 0,5).

(Коли емпіричний розподіл співвідноситься з рівномірним розподілом і кількість розрядів ознаки k=2, а число ступенів свободи ν=k–1=1, тобто ознака набуває всього 2 значення;

коли співставляються два емпіричних розподіли і кількість розрядів рівна 2, тобто кількість рядків k=2, і кількість стовпчиків c=2 і ν=(k–1)·(с–1)=1 необхідно вносити поправку на неперервність)

5. Розряди повинні бути не перехресними: якщо спостереження віднесене до одного розряду, то воно вже не може бути віднесене до іншого розряду. Сума спостережень за розрядами завжди повинна бути рівна загальній кількості спостережень.

Приклад: досліджується питання про уподобання в групі студентів одного з чотирьох напоїв (було запропоновано назвати тільки один улюблений з чотирьох) дані опитування були представлені в таблиці.

Чи можна сказати, що всі напої мають однакове уподобання або що один з них є більш популярним серед студентів. В принципі, з таблиці видно, що кока-кола має самий високий рейтинг, а спрайт самий низький. Але на скільки достовірна ця різниця? Для відповіді на питання потрібно порівняти отриманий емпіричний розподіл з теоретичним рівномірним.

Вирішення задачі будується за наступним алгоритмом.

1. Формулюються статичні гіпотези:

Н₀: розподіл уподобань різних напоїв значимо не відрізняється від рівномірного розподілу.

Н₁: розподіл уподобань різних напоїв значно відрізняється від рівномірного.