РОЗПОДІЛ ЗМІННИХ ВЕЛИЧИН

1. Нормальний розподіл (розподіл Гаусса, розподіл Муавра - Лапласа) - це розподіл значень змінної величини в тих випадках, коли вона варіює випадковим чином і не схильна до впливу будь-якого систематичного фактора.

Нормальний розподіл найчастіше зустрічається у вивченні природних і соціально-економічних явищ. Інакше кажучи, більшість статистичних сукупностей у природі і суспільстві підпорядковується закону нормального розподілу. Відповідно можна сказати, що сукупності значної частини великих за обсягом вибірок підпорядковуються закону нормального розподілу. Ті із сукупностей, які відхиляються від нормального розподілу в результаті спеціальних перетворень, можуть бути наближені до нормального. У зв'язку з цим слід пам'ятати, що принципова особливість цього закону стосовно до інших законів розподілу полягає в тому, що він є законом границі, до якої наближаються інші закони розподілу в певних (типових) умовах.

Слід відмітити, що термін «нормальний розподіл» має умовний зміст, як загальноприйнятий у математичній і статистико-математичній літературі термін. Твердження, що та чи інша ознака будь-якого явища підпорядковується закону нормального розподілу, зовсім не означає непохитність норм, ніби притаманних досліджуваному явищу, а віднесення останнього до другого виду закону не означає якусь анормальність даного явища. У цьому розумінні термін «нормальний розподіл» не зовсім вдалий.

Нормальний розподіл (закон Гаусса-Лапласа) є типом безперервного розподілу. Де Муавр (1773, Франція) вивів нормальний закон розподілу ймовірностей. Основні ідеї цього відкриття були використані в теорії помилок вперше К. Гауссом (1809, Німеччина) і А.Лапласом (1812, Франція), які внесли відчутний теоретичний вклад у розробку самого закону. Зокрема, К.Гаусс у своїх розробках виходив з визнання найбільш імовірним значенням випадкової величини-середню арифметичну. Загальні умови виникнення нормального розподілу встановив А.М.Ляпунов. Ним було доведено, що якщо досліджувана ознака являє собою результат сумарної дії багатьох факторів, кожен з яких мало пов'язаний з більшістю решти, і вплив кожного фактора на кінцевий результат набагато перекривається сумарним впливом всієї решти факторів, то розподіл стає близьким до нормального.

Теоретично нормальний розподіл має форму «дзвона», ця крива має випуклість, яка направлена вверх до точки максимуму та підпорядковується наступним закономірностям:

1. Права і ліва гілки теоретичного нормального розподілу абсолютно симетричні і як би дзеркально відображають один одного.

2. У нормальному розподілі основні показники центральної тенденції (мода, медіана і середнє арифметичне значення) збігаються і відповідають найвищій точці (вершині) розподілу.

3. Права і ліва гілки розподілу йдуть у нескінченність, ніколи не стикаючись з віссю абсцис. Іншими словами, частота (ймовірність) зустрічальності того чи іншого значення ознаки може бути як завгодно мала, але ніколи не дорівнює нулю. У практичному відношенні це властивість нормального розподілу вельми незручно, так як гонитва за нескінченністю - заняття вельми невдячна. Тому прийнято аналізувати отримані дані в діапазоні від –4 до +4 стандартних відхилень (теоретично в цей діапазон повинно потрапляти ~ 99,98 % експериментальної вибірки). Водночас звуження діапазону до ± 3 σ дещо ризиковано, тому що значення, що даються «крайніми» випробуваними, можуть випасти з розгляду.

Мал. 5.1. Крива нормального розподілу

Мал. 5.2. Кумулятивна крива нормального розподілу

Існує ряд статистичних критеріїв, що дозволяють порівняти експериментально отриманий розподіл з теоретичним (нормальним). Основними з них є коефіцієнт асиметрії, показник ексцесу, критерій хі-квадрат Пірсона (c²) і критерій λ Колмогорова – Смирнова.