Алгоритм применения критерия Пирсона
Генеральной совокупности по критерию Пирсона
Проверка гипотезы о нормальном распределении
Пусть эмпирическое распределение задано в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот (табл. 3.11):
Таблица 3.11
Закон распределения дискретной случайной величины
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| … | 
|
1. Выдвигают нулевую гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X и находят его параметры 
и 
по формулам (3.38) и (3.33) соответственно.
2. Определяют теоретические частоты 
соответствующие опытным частотам 
Если среди опытных частот имеются малочисленные, то их необходимо объединить с соседними. Интервалы после объединения будем обозначать (
]. Число интервалов должно быть не менее 4-х. Если случайная величина X непрерывна, то
где 
− объем выборки (сумма всех частот);
− шаг (разность между двумя соседними вариантами);
вычисляют следующим образом:
(3.41)
Значения 
находят из таблицы приложения 1.
3. Вычисляют наблюдаемое значение критерия:
(3.42)
4. Находят по таблице критических точек распределения 
по заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы 
−число групп выборки) находят критическую точку 
правосторонней критической области.
5. Если 
то гипотезу о нормальном распределении выборки принимают; если 
то гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.
Пример 3.59. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности 
с эмпирическим распределением выборки (табл. 3.12) объема 
Таблица 3.12
Закон распределения дискретной случайной величины
|
| |||||||||
|
|
Используя формулы (3.38) и (3.33), найдем выборочную среднюю 
и выборочное среднее квадратическое отклонение 
Вычислим теоретические частоты, учитывая, что 
по формуле (3.41):
Составим расчетную таблицу 3.13:
Таблица 3.13
Расчетная таблица
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| −1,62 | 0,1074 | 9,1 | 34,81 | 3,8 | |||
| −1,20 | 0,1942 | 16,5 | 90,25 | 5,5 | |||
| −0,77 | 0,2966 | 25,3 | 0,09 | 0,0 | |||
| −0,35 | 0,3752 | 4,00 | 0,1 | ||||
| 0,08 | 0,3977 | 33,9 | 62,41 | 1,8 | |||
| 0,51 | 0,3503 | 29,8 | 77,44 | 2,6 | |||
| 0,93 | 0,2589 | 4,00 | 0,2 | ||||
| 1,36 | 0,1582 | 13,5 | 42,25 | 3,1 | |||
| 1,78 | 0,0818 | 36,00 | 5,1 | ||||
| ∑ | 
|
По таблице критических точек распределения 
(приложение 5) по уровню значимости 
и числу степеней свободы 
находим критическую точку правосторонней критической области:
Поскольку 
− гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем, т. е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Выводы по главе
Разделы математики «Комбинаторика», «Теория вероятностей» и «Математическая статистика», рассмотренные в третьей главе учебного пособия, логически связаны между собой. Без усвоения учебного материала каждого параграфа невозможно успешное усвоение материала главы в целом.
В параграфе 3.1. рассмотрены основные комбинации элементов без повторений: перестановки, размещения и сочетания, а также правила сложения и произведения. Особое внимание уделяется решению комбинаторных задач, поскольку для решения задач теории вероятностей широко используются понятия, формулы и правила комбинаторики.
Основным элементам теории вероятностей посвящен параграф 3.2. В нем представлены следующие темы: классификация событий и операции над ними; статистический, классический и геометрический подходы к понятию вероятности; формулы полной вероятности и Байеса, схема Бернулли и соответствующие формулы (формула Бернулли, локальная и интегральная формулы Муавра−Лапласса, формула Пуассона) для решения задач.
Дискретные и непрерывные случайные величины, их основные характеристики, а также равномерное, нормальное и показательное распределения рассматриваются в параграфе 3.3.
Элементы математической статистики представлены в параграфе 3.4. В частности рассматриваются основные понятия и методы (точечные и интервальные оценки параметров распределения, проверка статистических гипотез).
Рассмотренные в этой главе разделы математики являются наиболее востребованными в различных областях деятельности общества (экономика, менеджмент, психология, социология и пр.). Приведены основные теоретические аспекты, необходимые для решения наиболее типичных задач и примеры их решения. Материал изложен в структурированной, краткой и доступной для усвоения форме и может быть использован как на семинарских занятиях, так и в процессе самостоятельной подготовки студентов.
Успешное усвоение изложенного материала может способствовать не только получению положительных оценок на зачете или экзамене по дисциплине, но и использоваться при обработке данных статистических исследований в экономике и других областях деятельности общества.
Контрольные вопросы
1. Каковы основные задачи математической статистики?
2. Сформулировать определение понятия генеральной совокупности.
3. Сформулировать определение понятия выборочной совокупности.
4. Что называется объемом совокупности?
5. Какая выборка называется репрезентативной?
6. Что называется вариационным рядом?
7. Что называется частотой, относительной частотой варианты?
8. Что называется размахом выборки?
9. Что называется модой выборки?
10. Что называется размахом, модой выборки?
11. Что представляет собой диаграмма частот, относительных частот?
12. Сформулировать определение понятия статистической гипотезы.
13. Сформулировать определение понятия статистического критерия.
14. Какие оценки параметров распределения называются точечными?
15. Как вычислить несмещенную оценку математического ожидания?
16. Как вычислить смещенную оценку математического ожидания?
17. Как вычислить несмещенную оценку дисперсии?
18. Как вычислить смещенную оценку дисперсии?
19. Какие оценки параметров распределения называются интервальными?
20. Какое распределение называется нормальным?
21. Каковы основные характеристики нормального распределения?
22. Приведите формулы для нахождения основных характеристик нормального распределения?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Последние десятилетия ознаменовались бурным развитием средств и методов вычислительной математики. Математическое моделирование позволяет рассчитать с помощью методов вычислительного эксперимента такие процессы, которые невозможно исследовать другими методами. В этой связи появилась возможность прогнозировать поведения сложных экономических и социальных систем в различных условиях и определять оптимальные параметры их функционирования, что является основой для принятия эффективных управленческих решений.
Все более широкое использование математических методов в самых различных областях деятельности, в свою очередь, стимулирует разработку новых направлений математики и открывает новые возможности её развития и как науки, и как прикладной дисциплины.
Однако наиболее перспективным направлением, на наш взгляд, является применение методов математики в экономике и, в частности в управлении экономическими процессами. В наше время научное управление этими процессами в условиях рыночной экономики и особенно в период экономического кризиса может осуществляться только на основе применения математических методов в различных сферах экономики: изучение и прогнозирование спроса на товары широкого потребления и услуги, изучение потребностей в рабочей силе, планирование транспортных потоков, пассажирских перевозок и пр. При этом многие математические методы и модели, используемые в практической деятельности, базируются на теоретических и практических аспектах таких разделов математики как линейная и векторная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, а также математическая статистика.
В связи с вышеизложенным сложно переоценить роль математики в системе обучения студентов экономических направлений подготовки, а также направлений подготовки «Прикладная информатика» и «Инноватика».