Степенные ряды
Пример 2.24.
Исследовать на сходимость ряд:
Решение.
1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.
При ~~сравним исходный ряд с расходящимся рядом .
исходный ряд расходится.
2. Применим признак Даламбера (найдем ):
ряд сходится.
3. Применим радикальный признак Коши (найдем ):
ряд расходится.
4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞).
Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.
Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.
2.93. Исследовать ряд на сходимость:
2) 3)
5) 6) 7) 8)
17) 18) 19) 20)
2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
Определение. Степенным рядом называется сумма
где ап
Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а0), т. е. область его сходимости непуста.
Схема нахождения области сходимости степенного ряда
1. Найти радиус сходимости ряда
Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).
2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = −R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.