Векторы. Линейные операции над векторами

Векторная алгебра

В этом параграфе рассматривается привычное понятие вектора, алгебраическая и геометрическая интерпретация операций над векторами, вводится обобщающее понятие векторного пространства как множества объектов разной природы, для которых заданы алгебраические операции сложения и умножения на число, удовлетворяющее определенным свойствам [3, c. 130].

В геометрии вектором называют направленный отрезок. Вектора можно складывать, вычитать, умножать на число. Если зафиксировать базис пространства, то произвольный вектор можно разложить по базису, коэффициенты этого разложения называются координатами вектора в этом базисе. Обычно рассматривают ортонормированный базис {} векторы которого имеют единичную длину и перпендикулярны друг другу. Тогда, разложив вектор по базису
=– координатная запись. Если вектора записаны в координатах, то операции сложения и умножения на число выполняются покоординатно, что согласуется с геометрическим определением суммы, разности и умножения на число.

1.21. По данным векторам , построить векторы:
= + 2, = 0,5– 2 и найти их координаты:

1) = (1; 2), = (2; –1); 2) = (–1; 1), = (3; 1);

3) = (–2; –2), = (1; 1); 4) = (2; 4), = (1; –1).

1.22. В треугольнике АВС проведена медиана АD. Выразить вектор через векторы = , = .

1.23. В некотором базисе даны векторы = (1; 2; 1),= (2; 1; 1),
=(–1; –2; –1). Найти все значения параметра m, при которых вектор
= (2; 3; m) линейно выражается через векторы .

Задача о разложении вектора по базису

Имеются три вектора = (–2; 0; 1), = (1; –1; 0), = (0; 1; 2). Выяснить, является ли вектор = (2; 3; 4) линейной комбинацией векторов . Найти его разложение по базису.

Решение.

Пусть=х + у + z .Необходимо найти коэффициенты разложения х, у, z.

Имеем, (2; 3; 4) = x(–2; 0; 1) + y(1; –1; 0) + z(0; 1; 2) или

(2; 3; 4) = (–2х + у; –у + z; х + 2z).

Приравняв координаты, получаем систему уравнений:

Решаем её (х, у, z) = (–1,2; –0,4; 2,6), т. е вектор имеет разложение:

=–1,2 –0,4 + 2,6 .

1.24. Даны четыре вектора , , , в таблице 1.12.

Таблица 1.12

№
	(4, 5, 2)	(3, 0, 1)	(–1, 4, 2)	(5, 7, 8)
	(3, –5, 2)	(4, 5, 1)	(–3, 0, –4)	(–4, 5, –2)
	(–2, 3, 5)	(1, –3, 4)	(7, 8, –1)	(1, 9, 2)
	(1, 3, 5)	(0, 2, 0)	(5, 7, 9)	(0, 4, –2)

Показать, что первые три из них образуют базис и найти координаты четвертого вектора в этом базисе.