Операции над матрицами
Линейная алгебра
Одним из основных объектов линейной алгебры являются матрицы и системы линейных уравнений. Понятие матрицы, определителя, операции над ними имеют важное значение для построения математических моделей различных экономических и технических процессов.
Определение. Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрицы обозначают А, В,…С, а их элементы аij, где i – номер строки, а j – номер столбца, в котором стоит элемент.
Матрицы одинаковых размеров можно складывать, умножать на число, транспонировать. Эти операции выполняются поэлементно. Умножение двух матриц возможно для матриц определенного размера; количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй: Am×n ٠ Bn×p = Cm×p. Умножение матриц некоммутативно, т. е. А٠В ≠ В٠А. Матрицы, для которых равенство выполняется, называют перестановочными.
Свойства операций над матрицами:
1. 
3.
2. 
4. 
5. 
7. 
6. 
8. 
1.1. Вычислить матрицу 
, где Т – знак транспонирования:
1) 
, 
, 
;
Пример 1.1.
= 
= 
,
.
Итак, D = 
2) 
, 
, 
;
3) 
, 
, 
;
4) 
,
, С 
1.2. Даны матрицы А, В в таблице 1.1. Вычислить матрицу 
, где Е–единичная матрица соответствующей размерности.
Таблица 1.1
| № | Матрица А | Матрица В | № | Матрица А | Матрица В |
| 3 1 0 2 0 1 1 1 3 | 1 0 0 0 3 0 0 0 2 | 3 1 1 0 2 –1 1 0 –2 | 3 0 0 0 –3 0 0 0 1 | ||
| 1 4 1 2 1 0 –1 0 0 | 3 0 0 0 5 0 0 0 1 | 0 0 3 1 2 1 0 0 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 2 | ||
| 1 0 1 4 1 0 2 0 1 | 4 0 0 0 –1 0 0 0 2 | 1 0 0 0 3 4 0 1 5 | 3 0 0 0 5 0 0 0 1 | ||
| Продолжение таблицы 1.1 | |||||
| № | Матрица А | Матрица В | № | Матрица А | Матрица В |
| 2 1 1 –1 3 0 0 1 –2 | 5 0 0 0 1 0 0 0 –2 | 2 5 0 1 4 0 0 0 –1 | 4 0 0 0 3 0 0 0 2 | ||
| 0 1 2 3 0 1 0 –1 –2 | –1 0 0 0 2 0 0 0 4 | 2 1 0 0 2 0 0 0 4 | 1 0 0 0 2 0 0 0 3 |
1.3. Рассмотреть пример и решить задачи.
1) Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат А
. Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа xj, записанное матрицей Хn×1.
Определить S 
матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.