Основные теоремы дифференциального исчисления

Вычислениям

Применение дифференциалов к приближенным

Сложной функции

Основные теоремы о дифференциалах, дифференциал

1)

2)

3)

4)

5)

6) Форма дифференциала инвариантна (неизменна).

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Например, дифференциал сложной функции.

Итак

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малом может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

где .

Например, вычислить значение . Имеем , , .

Далее . Или . Окончательно

Теорема ( Ферма).

Если функция имеет производную в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то .

Доказательство.

По определению производной имеем

Так как у нас (мы считаем, для определенности, что имеет место локальный максимум) , то для достаточно малых

Откуда в пределе, при , получим, что .

Если же , то

Поэтому, переходя к пределу при в этом неравенстве, поучим . Отсюда и вытекает .

Теорема (Ролля).

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Доказательство.

Если постоянна на , то для всех производная .

Будем считать, что не постоянна на . Так как непрерывна на , то существует точка , в которой достигает максимума на , и существует точка , в которой достигает минимума на . Обе точки не могут быть концевыми точками отрезка , потому что иначе

и была бы постоянной на . Следовательно, одна из точек принадлежит интервалу . Обозначим ее через . В ней достигается локальный экстремум. Кроме того, существует, потому что по условию существует для всех . Поэтому по теореме Ферма .