Теоремы о непрерывных функциях

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Теорема 5. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т.е. существует константа такая, что выполняется неравенство

На рисунке изображен график непрерывной функции на отрезке . Очевидно, что существует такое число , что график находится ниже прямой , но выше прямой .

Теорема 6 (Вейерштрассе). Если функция непрерывна на , то существует ее минимум и максимум на , т.е. существуют точки такие, что для всех . См. рис.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке и числа и не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале имеется по крайней мере одна точка такая, что .

Следствие 1. Если функция непрерывна на , , , и произвольное число, находящееся между числами и , то на интервале найдется по крайней мере одна точка такая, что .

Следствие 2. Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями.

9. Производная функции.

Пусть функция определена в окрестности . Тогда производной от функции в точке называется предел

где . Функция, которая имеет производную, называется дифференцируемой.

Теорема 8 (о непрерывности дифференцируемой функции).

Если функция дифференцируема в , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть существует производная . Тогда

,

причем . Отсюда

Отсюда следует, что значение непрерывно.

10. Основные правила дифференцирования.

1.

Доказательство:

2. (производная от суммы равна сумме производных).

Доказательство:

3. константу можно выносить за знак производной.

Доказательство:

Производная сохраняет линейные комбинации.

4. Производная произведения:

5. Производная частного:

Доказательство:

6. Производная сложной функции:

Доказательство:

Пример.

7. Производная обратной функции

8. Производная функции, заданной параметрически:

Доказательство:

9. Производная функции .

Пример.

.

10. Если функция задана неявно, т.е. уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция переменной .

Пример. Найти производную неявной функции .

Это уравнение определяет - функцию от . Подставляя функцию в данное уравнение, получаем тождество . Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим .

.