Элементы теории случайных процессов

Марковские процессы. Потоки событий

Если физическая система Х с течением времени может под влиянием случайных факторов переходить из состояния в состояние, то говорят, что в этой системе происходит случайный процесс.

Система Х называется системой с дискретными состояниями, если она имеет множество возможных состояний , и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. Будем рассматривать именно такие системы.

Возможные состояния системы Х наглядно изображается в виде графа состояний, вершинами которого являются состояния, а дугами – переходы системы из состояния в состояние (Рис. 1,):

Рис. 1. Рис. 2.

Состояние системы называется состоянием без выхода, если из него невозможен переход ни в какое другое состояние (Рис. 2.).

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями , используют вероятности состояний

где − вероятность того, что в момент t система находится в состоянии , Вероятности удовлетворяют условию

.

Случайный процесс, протекающий в системе Х, называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в определенные моменты времени . Если переходы возможны в любой момент времени, процесс называется процессом с непрерывным временем.

Если в системе Х с дискретными состояниями происходит случайный процесс с непрерывным временем, то переходы системы из состояния в состояние можно рассматривать как происходящие под влиянием некоторых потоков событий.

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.

Плотностью ( интенсивностью ) потока называется среднее число событий в единицу времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность появления на любом участке времени того или другого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным, участки.

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским.

Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени , распределено по закону Пуассона:

,

где а – математическое ожидание числа точек, попадающих на участок:

, − плотность потока.

Если , пуассоновский поток называется стационарным пуассоновским или простейшим потоком.

Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок длины , распределено по закону Пуассона с параметром .

Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону, с плотностью

Для случайной величины Т, распределенной по показательному закону: , .

Случайный процесс с дискретными состояниями называется марковским, если все вероятностные характеристики процесса в будущем зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени, и не зависит от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом. Если процесс марковский, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими.

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским, то для вероятностей состояний можно составить систему линейных дифференциальных уравнений.

При составлении этих дифференциальных уравнений удобно пользоваться размеченным графом состояний, на котором каждая дуга, ведущая из состояния в состояние, взвешена плотностью (интенсивностью) потока событий, переводящего систему из состояния в состояние по данной дуге. На рис. 3. показан пример такого графа

Рис. 3.

Здесь обозначает плотность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние .

Если имеется размеченный граф состояний системы Х, то систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний можно сразу написать, пользуясь простым правилом. В левой части каждого уравнения стоит производная , а в правой части – столько членов, сколько дуг связано непосредственно с данным состоянием; если дуга ведет в данное состояние, член имеет знак плюс, если из данного состояния, член имеет знак минус. Каждый член равен плотности потока событий, переводящего систему по данной дуге, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит дуга. Например, для системы Х, размеченный граф состояний которой показан на рис. 3, система дифференциальных уравнений имеет вид:

Число уравнений может быть уменьшено на единицу, если учесть условие: для любого t

.

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент. Если, например, система при t = 0 была в состоянии , то полагают

при .

Предельным режимом для системы Х называется случайный процесс, устанавливающийся в системе при .

Если в числе состояний системы имеются состояния без выхода, то при система с практической достоверностью оказывается в одном из них.

Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны (), общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями состояний . Для нахождения этих вероятностей полагают все производные и решают полученную систему линейных алгебраических уравнений. К ним добавляется нормировочное условие

.

Так для системы Х , размеченный граф состояний которой показан на рис. 3., система алгебраических уравнений, определяющая предельный режим, будет иметь вид:

Потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием) называется поток, у которого промежутки между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Если эти случайные величины распределены одинаково, то поток Пальма называется стационарным.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток является потоком Пальма.

Нестационарный пуассоновский поток потоком Пальма не является.

Потоком Эрланга k-го порядка называется поток событий, получаемый из простейшего путем операции “разрежения”, когда выбрасывают из потока k точек подряд, а сохраняют только -ю (Рис. 4.). Простейший поток есть поток Эрланга нулевого порядка.

Рис. 4.

Промежуток времени Т между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка есть неотрицательная случайная величина с плотностью распределения

и функцией распределения

.

При k = 0 (простейший поток) получаем

(показательный закон).

Регулярным потоком событий называется поток, в котором события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

При увеличении порядка k потока Эрланга (и одновременном уменьшении масштаба по оси Оt делением на k + 1) поток Эрланга приближается к регулярному.

Пример.Потокмашин, следующихпо шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с плотностью . Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти закон распределения времени Т, которое ему придется ждать; определить его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

□ Плотность распределения времени ожидания будет такая же, как плотность распределения промежутка между машинами, а именно

,

так как “будущее” в простейшем потоке никак не зависит от “прошлого”, в частности от того, сколько времени тому назад прошла последняя машина.

Для показательного закона

, , . ■

Пример.Рассматривается работа электронной вычислительной машины (ЭВМ). Среднее время безотказной работы ЭВМ равно ; поток отказов (сбоев) ЭВМ – простейший с параметром . Если в машине происходит сбой, то она останавливается и неисправность устраняется. Среднее время устранения неисправности равно ; поток восстановлений ЭВМ – простейший с параметром . Определить вероятность того, что ЭВМ в момент времени t будет работать, если она в момент времени t = 0 работала.

□ Рассмотрим два состояния ЭВМ: − ЭВМ исправна, − ЭВМ ремонтируется. Вероятности этих состояний в момент времени t обозначим и соответственно. Построим размеченный граф состояний

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний имеет вид

Решение системы уравнений при начальных условиях будет

При будет иметь место стационарный режим работы системы с вероятностями состояний

, . ■