Показатели надежности восстанавливаемых систем

Показатели безотказности. В соответствии с двумя способами задания потока отказов для восстанавливаемых систем можно применять различные показатели безотказности.

При задании потока отказов как дискретного случайного процесса - числа отказов на интервале (0, t) показателем безотказности является параметр потока отказов (t), определяемый следующим соотношением:

(1.32)

где W(t) – ведущая функция потока отказов, определяемая как математическое ожидание числа отказов за время t:

(1.33)

Очевидно, что W(t) – неотрицательная неубывающая функция. У стационарного потока отказов параметр т. е. является постоянной величиной и не зависит от времени. Ведущая функция потока при этом является линейной функцией времени, т. е.

Для статистического определения параметра потока отказов поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем в одинаковых условиях эксплуатации и при одинаковом техническом обслуживании. В момент t=0 все системы работоспособны и начинают работу. Будем пренебрегать продолжительностью восстановления. Обозначим число отказов i-й системы (i=) на интервале (0, t). Тогда

. (1.34)

Таким образом, параметр потока отказов - отношение числа отказов системы на некотором малом отрезке времени к значению этого отрезка.

При задании потока отказов как последовательности случайных величин , … наработок между отказами [в предположении, что эти наработки имеют одинаковое распределение с плотностью f(t)] показателем безотказности является средняя наработка на отказ

i=(1,2…).

Отметим, что в простейшем потоке средняя наработка на отказ и параметр потока связаны соотношением .

Для статистического определения средней наработки на отказ будем, как и выше, испытывать N одинаковых восстанавливаемых систем. Предположим, что каждая из них проработала в течение времени t. Тогда

. (1.35)

Показатели ремонтопригодности. Ранее предполагалось, что продолжительностью восстановления можно пренебречь по сравнению со временем между отказами. На практике продолжительность восстановления почти всегда существенно меньше времени между отказами, однако нельзя не учитывать продолжительность восстановления для решения многих задач надежности (например, расчета потерь из-за отказов, количества необходимого ремонтного персонала и др.).

Обозначим Т_в случайную величину — продолжительность восстановления работоспособного состояния системы после отказа (далее сокращенно — время восстановления).

Будем полагать, что распределение величины T_в не зависит ни от времени, ни от порядкового номера восстановления, ни от длительности предыдущего восстановления, ни от предшествующей наработки между отказами. Если к тому же наработки между отказами , , … одинаково распределены и не зависят друг от друга и от величины Т_в, то такой поток отказов с учетом времени восстановления носит название альтернирующего процесса восстановления. Отметим, что в этом процессе, как и в процессе восстановления, средняя наработка па отказ равна средней наработке до отказа .

График функционирования системы с учетом времени восстановления дан на рис. 1.5. Для упрощения принято, что единственной причиной отключения системы являются ее отказы — отключения по всем иным причинам не рассматриваются.

Рис. 1.5 График функционирования системы с учетом времени восстановления

Показателями ремонтопригодности являются:

1. Вероятность восстановления работоспособного состояния за заданное время t – это вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превышает заданного времени t

; (1.36)

Функция представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины Т_в.

Статистическое определение этого показателя

, (1.37)

где l(t)—число восстановлений, длительность которых меньше t; т — общее число восстановлений.

2. Вероятность невосстановления на заданном интервале t

(1.38)

(1.39)

3. Плотность вероятности момента восстановления

(1.40)

4. Среднее время восстановления

(1.41)

, (1.42)

где t_вi — время восстановления после i-гo отказа.

5. Интенсивность восстановления работоспособного состояния, которая, следуя общей методологии, аналогична показателю безотказности – интенсивности отказов:

(1.43)

Далее конкретизируем определение времени восстановления ТС, для чего рассмотрим его основные составляющие. Время восстановления всегда включает в себя время Т_В1 поиска причины отказа и время Т_В2 его устранения. Оперативное время восстановления

. (1.44)

При эксплуатации ТС в (1.44) могут быть добавлены следующие времена:

Т_В3 — ожидание от момента обнаружения отказа до начала поиска его причины. (Это время может существенно превышать Т_в1 и Т_в2 на предприятиях, где технологическое оборудование работает круглосуточно, а ремонтный персонал — в одну смену);

Т_В4 — обеспечение персонала инструментами, материалами, запасными частями;

Т_В5 — ожидание от момента окончания устранения отказа до момента включения ТС;

Т_В6 и Т_В7 — демонтаж и монтаж ТС.

На рис. 1.6, б приведена структура времени восстановления, проведенного непосредственно на месте установки отказавшего ТС без его замены. Общее время восстановления

.

Рис. 1.6 Примеры структуры времени восстановления: а – проводимого на месте установки ТС; б – проводимого в ремонтной мастерской

На рис. 1.6, в рассмотрен случай, когда восстановление проведено путем демонтажа отказавшего технического средства, его последующего ремонта в мастерской и монтажа на прежнем месте. При этом общее время восстановления

,

где Т_В8 — длительность ожидания ремонта в мастерской; Т_В9 — время устранения отказа в мастерской.

Показатели надежности ТС, как правило, устанавливаются при следующих условиях эксплуатации: температура окружающего воздуха (20±10) °С; относительная влажность 30 - 80%; давление 630 - 800 мм рт. ст., отклонение напряжения питания сети +10 - —15%. Время t₁, на котором задается вероятность безотказной работы, обычно принимается равным 2000 ч, за исключением ТС, предназначенных для атомных станций, где t₁ = 8000 ч [5].

Показатели долговечности. Календарную продолжительность от начала эксплуатации системы до перехода в предельное состояние называют сроком службы системы. Срок службы системы может быть случайной величиной, которую обозначим Т_с. Тогда в качестве показателя долговечности можно принять средний срок службы

,

или гамма-процентный срок службы , который определяется соотношением

. (1.45)

Таким образом — календарная продолжительность от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью (выраженной в процентах).

Для некоторых систем показателем долговечности является установленный срок службы, который должна достигнуть каждая система. Этот показатель можно интерпретировать как при =100%.

В качестве случайной величины при рассмотрении долговечности может быть принят не только календарный срок службы системы, но и ее ресурс — наработка от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние.

Комплексные показатели надежности. Кроме приведенных выше показателей, каждый из которых характеризует одну из составляющих надежности, используются также комплексные показатели, отражающие одновременно безотказность и ремонтопригодность.

1. Коэффициентом готовности называют вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации. Можно показать, что в альтернирующем процессе восстановления коэффициент готовности

, (1.46)

т. е. этот коэффициент численно равен средней доле времени, в течение которого система пребывает в работоспособном состоянии.

Для статистического определения коэффициента готовности, как и в начале настоящего параграфа, поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем и обозначим N_p(t_x) число систем, находящихся в состоянии работоспособности в произвольный, достаточно удаленный от начала испытаний момент времени t_x. Тогда статистическое определение коэффициента готовности

. (1.47)

2. Коэффициентом оперативной готовности называют вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся режиме эксплуатации и что, начиная с этого момента, система будет работать безотказно в течение заданного интервала времени t. Из этого определения и из (1.46) следует, что в альтернирующем процессе восстановления

, (1.48)

где P(t_x, t) - условная вероятность безотказной работы системы на интервале (t_x,, t_x+t) при условии, что в момент t_x система была работоспособна.

Если распределение времени безотказной работы системы является экспоненциальным, то (1.48) можно упростить, учитывая свойство экспоненциального распределения: независимость вероятности безотказной работы на интервале (t, t+) от момента t. Тогда

. (1.49)

3. Коэффициент вынужденного простоя - вероятность того, что система ока­жется неработоспособной в произвольный момент времени в промежутках между плановыми ремонтами

. (1.50)

Отметим, что при определении коэффициента готовности, коэффициента оперативной готовности и коэффициента вынужденного простоя из рассмотрения исключены планируемые периоды времени, в течение которых применение систем по назначению не предусматривается (например, интервалы планового технического обслуживания). Эти периоды времени учитываются следующим комплексным показателем.

4. Коэффициент технического использования

, (1.51)

где , , — соответственно математические ожидания суммарных времен пребывания системы в работоспособном состоянии, технического обслуживания и восстановления за некоторый период эксплуатации .

5. Коэффициент планируемого применения – это доля периода эксплуатации, в течение которой система не должна находиться на плановом техническом обслуживании и ремонте

, (1.52)

где – продолжительность периода эксплуатации; - соответственно математические ожидания суммарной продолжительности плановых технических обслуживаний и ремонтов за заданный период эксплуатации .

Показатели достоверности.Поскольку под достоверностью функционирования АС подразумевается ее способность производить безошибочно преобразование, хранение и передачу информации, то в качестве показателей достоверности могут рассматриваться либо вероятность искажения информации, либо потери ин­формации в одном знаке. Примерами количественной оценки достоверности информации мо­гут служить следующие показатели:

• вероятность ошибки при передаче данных по линиям связи составляет 10^-4 - 10^-5 на один знак;

• вероятность ошибки при хранении информации на машинном носителе составляет 210^-6;

• вероятность ошибки в выходных данных АС специального назначения не должна превышать 10^-10 - 10^-12 на один знак.

Показатели эффективности. В п. 1.1 было введено определение эффективности АС и рассмотрен ее состав. В зависимости от видов результатов функционирования разделяют показатели эффективности на технологические и экономические.

Технологические показатели эффективности отражают изменение количества и качества продукции, количества израсходованного топлива, энергии, сырья, изменение использования технологического оборудования вследствие применения АС. Примерами этих показателей являются: повышение среднесуточного количества выпущенной продукции, снижение удельного расхода сырья, энергии, топлива; производительность АС, которая может определяться по-разному. Для многофункциональных систем можно оценивать производительность как суммарные затраты времени на выполнение функций. В свою очередь, затраты времени на выполнение каждой из частных функций складываются из затрат времени на работу технических средств, используемых для выполнения этих функций. При рассмотрении АС как системы массового обслуживания (СМО), в качестве показателя технической эффективности можно использовать пропускную способность системы.

Экономические показатели эффективности отражают изменение экономических результатов функционирования объекта вследствие применения АС и выражаются либо в денежных единицах, либо в единицах, определяющих степень соответствия затрат на АС результатам функционирования объекта. Экономические показатели эффективности АС определяются сравнением двух вариантов: до и после внедрения АС. Примерами экономических показателей эффективности являются:

1. Годовой прирост прибыли , который образуется как за счет роста объема реализованной продукции, так и за счет снижения издержек производства при внедрении АС:

(1.53)

2. Годовой экономический эффект

W₁=(Ц₂-Ц₁)-(С₂-С₁)-Е_Н(К₂-К₁), (1.54)

3. Коэффициент сравнительной экономической эффективности

W₂=[(Ц₂-Ц₁)-(С₂-С₁)]/(К₂-К₁), (1.55)

4. Срок окупаемости капитальных вложений

. (1.56)

Здесь: А – годовой объем выпущенной продукции; С — себестоимость этой продукции; П – прибыль от реализации продукции; Ц—стоимость выпущенной продукции в оптовых ценах; К — капитальные вложения (включая предпроизводственные затраты) на выпуск продукции; Е_Н — нормативный коэффициент экономической эффективности капиталовложений; индексы 2 и 1 относятся к сравниваемым вариантам, соответственно, после и до внедрения АС.

Рассмотрим взаимосвязь между надежностью и эффективностью. С одной стороны, повышение надежности систем, как правило, связано с увеличением затрат. Улучшение элементной базы, введение избыточности, приобретение более надежных (и, как правило, более дорогих) технических средств - все это приводит к повышению единовременных затрат на содержание АС. Введение более частого и более продолжительного технического обслуживания увеличивает текущие затраты, а значит, и себестоимость продукции, повышение надежности путем улучшения условий эксплуатации введением специального оборудования (например, кондиционеров) увеличивает как единовременные затраты на приобретение этого оборудования, так и текущие затраты на его содержание и обслуживание.

С другой стороны, отказы элементов АС приводят к снижению эффективности, причем такое снижение может быть значительным.

Поскольку экономическая эффективность АС определяется уровнем ее надежности, то экономически целесообразный уровень надежности выбирается сравнением схожих по структуре и функциям вариантов (критерий оптимизации надежности).

Под экономически целесообразным уровнем надежности понимается наилучший вариант по максимуму эффективности, измеряемой годовым дополнительным экономическим эффектом:

где - годовая экономия от снижения себестоимости изготовления продукции при внедрении проектируемой системы; Е_Н – нормативный коэффициент эффективности капиталовложений; - нормативная экономия от использования дополнительных капиталовложений.

В качестве критерия оптимизации надежности часто используют величину дополнительного эффекта за срок службы системы Т_С

(1.57)

где экономия за счет снижения себестоимости (без учета амортизационных отчислений); дополнительные капитальные затраты, от которых экономия получена; эквивалентный срок службы, определяемый по формуле:

.

Надежность АС будет оптимальной, если каждый элемент системы будет иметь оптимальную интенсивность отказов .

Оптимальная интенсивность отказов всей системы определяется по формуле:

где N – количество элементов в системе.

Дополнительный экономический эффект при этом будет наибольшим за счет снижения среднего числа отказов.

Пусть - интенсивность отказов исходной системы, а - интенсивность отказов проектируемой системы, причем .

Годовая экономия на расходах по эксплуатации при использовании проектируемой системы вместо исходной будет:

(1.58)

где С_В – средняя стоимость восстановления системы после отказа.

Если отказы обусловлены только отказами i-ого элемента системы, то годовая экономия на расходах по эксплуатации, обусловленная повышением надежности элемента от до , вычисляется по формуле:

где С_Вi – средняя стоимость восстановления i-ого элемента (примерно одинаковая для обеих систем).

Потери от простоев

(1.59)

где В – условно-постоянные расходы в единицу времени; Н – средний ущерб от одного отказа системы; Т_В – среднее время восстановления после каждого отказа.

Годовая экономия от сокращения потерь, вызванных простоями системы, определяется разностью потерь от простоев исходной П_И и проектируемой П_П систем:

(1.60)

Если отказы системы обусловлены только отказами i-ого элемента со средним временем восстановления Т_Вi, то:

где .

Приращение стоимости элемента определяется:

, (1.61)

где постоянная затрат на повышение надежности элемента, численно равная приращению стоимости элемента при снижении интенсивности отказов в раза.

Подставим значения и в формулу 1.57, получим:

. (1.62)

Если эквивалентные сроки службы элемента и системы не совпадают, то

где .

Из формулы 1.62 следует, что при повышении надежности элемента эффект сначала возрастает, а затем снижается, т.е. существует максимум . Это объясняется тем, что при высоком уровне надежности элемента затраты на дальнейшее ее повышение превышают получаемую при этом экономию на потерях, которая при высоком уровне надежности невелика.

Для определения оптимальной интенсивности отказов необходимо продифференцировать по выражение для и приравнять производную к нулю:

откуда .

Тогда можно определить

(1.63)

и .

Зная можно определить оптимальную интенсивность всей системы

Экономический эффект от повышения надежности всей системы и необходимые для этого затраты равны:

и

Установление связи между надежностью и эффективностью является одним из основных вопросов, возникающих при исследовании надежности любых сложных систем, включая и АСУ. Можно даже сказать, что проблема обеспечения надежности в принципе является частью более общей проблемы — повышения эффективности функционирования систем, причем уровень надежности обычно в значительной степени определяет эффективность системы. Для количественной оценки взаимосвязи надежности АСУ и ее эффективности используют коэффициент сохранения эффективности К_ЭФ– этоотношение значения показателя эффективности за заданный период эксплуатации к номинальному значению данного показателя, определяемому при условии, что отказы системы в течение того же периода эксплуатации не возникают:

(1.64)

где Э_Р – реальное значение эффективности системы, т. е. с учетом надежности; Э_НОМ – номинальное значение эффективности, т. е. эффективность безотказной системы [2].

На рис. 1.7. показана связь между отдельными сторонами и видами надежности, а также показателями эффективности и надежности. На рисунке: Э_{НОМ i} – номинальная эффективность системы в i - м режиме ее работы; P_i(t) – вероятность i –ого режима работы на интервале времени (0 – t); Э_Рi - реальная эффективность системы в i - м режиме ее работы; - суммарная реальная эффективность системы; - суммарная номинальная эффективность системы.

Под режимом работы системы в данном случае понимаются вполне определенная ее конфигурация, состав элементов, организация ее работы, рабочий ритм и другие факторы, изменение которых приводит к изменению выходного эффекта.

В левой части рис. 1.7 представлена схема алгоритма определения К_ЭФ. Вначале определяются показатели номинальной эффективности для каждого из возможных режимов работы (Э_НОМi). Значения этих показателей умножаются на вероятности режимов, и полученные результаты суммируются. Так определяется показатель суммарной номинальной эффективности . Чтобы получить показатель суммарной реальной эффективности, каждое из произведений Э_НОМi, P_i(t) подвергаются преобразованию с учетом показателей надежности элементов системы.

Преобразованные значения указанных произведений суммируются. В результате получается значение суммарной реальной эффективности системы.

Частным от деления на будет значение К_ЭФ.

При определении коэффициента сохранения эффективности в качестве показателей эффективности системы могут быть приняты вероятность ее без­отказной работы или пропускная способность системы массового обслуживания.

Рис. 1.7 Схема связи между эффективностью и отдельными сторонами и видами надежности

Глава 2. ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ АС

Автоматизированную систему, как и любую сложную систему, целесообразно представить в виде совокупности элементов и рассматривать взаимосвязь этих элементов между собой. Выбор элементов в зависимости от способа декомпозиции АС может быть различен. При декомпозиции по составу в качестве элементов могут быть приняты комплекс технических средств (техническое обеспечение), информационное обеспечение (включающее в себя нормативно-справочную информацию, системы классификации и кодирования информации и др.) и организационное обеспечение (совокупность документов, регламентирующих действия персонала). Свойства информационного и организационного обеспечения влияют на надежность АС косвенно, через функционирование технических средств, программного обеспечения и персонала, поэтому ниже при решении вопросов надежности отдельно не будут учитываться.

При функциональной декомпозиции АС как многофункциональной системы в качестве элементов системы рассматриваются ее отдельные функции.

Рассмотрим АС как совокупность комплекса технических средств, программного обеспечения и оперативного персонала.