Конспект лекций

Расчёт размерных цепей и элементы САПР

Лиллиан Ту

для подготовки специалистов направлений: 151000 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»,

154000 «Технологические машины и оборудование»

Специальности: 151001 « Технология машиностроения»,

154001 «Проектирование технических и технологических комплексов»

Квалификация 62 «Бакалавр»

Форма обучения заочная

Количество часов – 17

Тула. 2012 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Лекция №1 ……………………………………………………………………..

Лекция №2……………………………………………………………………….

Лекция №3……………………………………………………………………….

Лекция №4……………………………………………………………………….

Лекция №5……………………………………………………………………….

Лекция №6………………………………………………………………………

Лекция №7………………………………………………………………………

Лекция №8………………………………………………………………………

Лекция №9………………………………………………………………………

ЛЕКЦИЯ 1

ТЕМА 1.ТЕОРИЯ И РАСЧЁТ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ

1.1. Понятие о размерных цепях. Примеры размерных цепей.

1.2. Определение, термины и обозначения в теории размерных цепей

1.3. Цели и типы расчета размерных цепей.

1.4. Методы расчета размерных цепей.

1.5. Методы достижения точности исходного (замыкающего) звена.

1.6. Основное уравнение размерной цепи.

1.1. ПОНЯТИЕ О РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЯХ. ПРИМЕРЫ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ

Размеры деталей, как и сами детали, в собранном изделии взаимосвязаны и взаимозависимы. Изменение размера одной детали вызывает изменения положения другой или нескольких других деталей этого изделия. Взаимосвязь и взаимозависимость размеров деталей в собранных изделиях сокращённо называют размерными связями деталей.

Основным руководством для размерных расчётов является PД 50-635-87. Цепи размерные. Общие положения PД 50-635-87. Цепи размерные. Основные понятия, методы расчёта цепей. Положения этой теории используются при конструировании изделий, а также при проектировании технологических процессов и отдельных операций в них.

Примеры размерных цепей

1. Сборочная размерная цепь (рис.1.1.а) Размеры А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, должны быть выполнены так, чтобы в соединении был обеспечен зазор А_∆.

2. Подетальная размерная цепь (рис.1.1.б) Требуется изготовить размеры Б₁, Б₂, Б₃ с такой точностью, чтобы был выдержан справочный размер Б_∆.

3. Измерительная размерная цепь (рис.1.1.в) Измеряется размер детали В_∆. В₁, В₂, В₃ – размеры инструмента. Точность измерения определяется точностью размеров В₁, В₂, В₃.

Рис.1.1 Примеры размерных цепей

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ В ТЕОРИИ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ

Размерной цепью, в общем случае, называют "совокупность размеров, образующих замкнутый контур и непосредственно участвующих в решении поставленной задачи". Звеном размерной цепи может быть линейный или угловой размер, определяющий размер поверхности (например, диаметр), или относительное расстояние (например, координирующий размер), либо относительный поворот поверхностей или их осей. Каждая размерная цепь содержит одно (и только одно) или исходное, или замыкающее звено и два или несколько составляющих звеньев.

PД 50-635-87 даёт следующие определения звеньев цепи.

Исходным (замыкающим) звеном называют размер, непосредственно связывающий поверхности или оси, относительные расстояния или поворот которых необходимо обеспечить (или определить) в поставленной задаче.

Исходное звено – звено, возникающее при постановке задачи при проектировании, для решения которой используется размерная цепь. Исходное звено является первым и является истоком размерной цепи.

Замыкающее звено, получающее в размерной цепи последним в результате решения поставленной задачи, в том числе при изготовлении и измерении. Замыкающее звено появляется последним и является завершением размерной цепи.

В любой размерной цепи может быть либо исходное, либо замыкающее звено и при том в единственном числе.

Составляющим звеном называют звено размерной цепи, изменение которого вызывает изменение исходного или замыкающего звена.

При выявлении размерную цепь рекомендуется нанести прямо на чертеже изделия, а затем начертить отдельно (рис.1.2).

Рис. 1.2. Примеры изображения размерных цепей

Все звенья одной цепи обозначают одной прописной буквой русского или строчной буквой греческого (кроме и ) алфавитов: составляющие звенья с индексом порядкового номера (1,2..), замыкающее (исходное) звено – с индексом ∆. При необходимости характер влияния составляющих размеров обозначают стрелками: для увеличивающих звеньев и т.д. для уменьшающих – и т.д.

Увеличивающие – это размеры при увеличении которых (в результате возникновения положительных ошибок) замыкающий размер увеличивается.

Уменьшающие – это размеры, при увеличении которых замыкающий размер уменьшается.

Из схем размерных цепей может быть одна геометрическая интерпретация звеньев цепи: исходное или замыкающее звено А_∆ соединяет две рассматриваемые поверхности 1 и 2 детали кротчайшим путём, а составляющие звенья А₁ и А₂ образуют косвенный, параллельный "окружной" путь соединения. Надобность в построении цепи возникает только тогда, когда необходимо обеспечить или измерить положение двух поверхностей не непосредственно, а через другие составляющие размеры изделия или технологического процесса.

По характеру расположения звеньев, образующих цепь, различают: пространственные, плоские, угловые и линейные размерные цепи.

В данном курсе рассматриваются только плоские цепи с параллельными звеньями, т.е. линейные размерные цепи.

Решение пространственных и плоских размерных цепей с непараллельными звеньями будет рассмотрено в курсах "Взаимозаменяемость и технические измерения" и "Технология машиностроения".

Замкнутый контур на схеме цепи необходим для анализа точности всех звеньев, включая замыкающее.

На сборочных и подетальных рабочих чертежах требуется простановка незамкнутой совокупности размеров, т.е. простановка обрабатываемых номинальных размеров с допусками и отклонениями. Замыкающий размер или совсем не проставляют, или проставляют его номинальную величину со знаком^* или с указанием "для справок".

Звеном размерной цепи может быть не только размер, т.е. расстояние между двумя точками, линиями или плоскостями, но также эксцентриситет в поперечном сечении, несоосность, непараллельность, а также отклонения формы. Эти величины вводят в размерную цепь, как звено, имеющее номинальный размер 0 и симметричные отклонения. Например, при радиальном биении в цепь вводится звено номинальный размер которого 0.

1..3. ЦЕПИ И ТИПЫ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ

Расчётом размерной цепи называют определение предельных размеров, а следовательно предельных отклонений и допусков всех звеньев цепи (рис.1.3).

А Таким образом в процессе

1) величины допусков j-x

звеньев ТА_j;

2) координаты располо-

А–Е_iА Е_сА жения середины поля

допуска ТА_j относительно

ТА номинального Е_сА;

3) верхние предельные

А+Е_sА значения звеньев А_j+Е_sА_j

или верхнее отклонение

Рис.1.3. Размерные параметры звеньев Е_sА_j

4) нижние предельные значения звеньев А_j-Е_jА_j или нижнее отклонение звеньев Е_jА_j. Все обозначения по СТСЭВ145-75

При расчётах размерных цепей могут решаться прямые и обратные задачи.

При решении прямой задачи, исходя из установленных требований к величине исходного звена, определяются номинальные размеры, величины допусков, координаты середин полей допусков и предельные отклонения всех составляющих размерную цепь звеньев (так называемая проектная задача).

При решении обратной задачи, исходя из величин номинальных размеров, допусков, координат их середин, предельных отклонений составляющих звеньев, определяются также величины замыкающего звена (так называемая проверочная задача).

1.4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ

Применяют следующие методы решения:

а) метод расчёта на максимум-минимум

Метод расчёта учитывает только предельные отклонения звеньев размерной цепи и самые невыгодные их сочетания.

б) вероятностный метод расчёта

Метод расчёта учитывает явление рассеивания размеров и вероятность различных сочетаний отклонений составляющих звеньев размерной цепи.

1.5. МЕТОДЫ ДОСТИЖЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИСХОДНОГО

(ЗАМЫКАЮЩЕГО) ЗВЕНА

а) метод полной взаимозаменяемости.

Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается у всех объектов путём включения в неё составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значения.

б) метод неполной взаимозаменяемости.

Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается не у всех объектов, а у заранее обусловленной их части, путём включения в неё составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их значений.

в) метод групповой взаимозаменяемости.

Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается путём включения в размерную цепь звеньев, принадлежащих к одной из групп, на которые они предварительно рассортированы.

г) метод пригонки.

Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением размера компенсирующего звена путём удаления с него определённого слоя металла.

д) метод регулировки.

Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением размера компенсирующего звена без удаления с него слоя металла.

1.6. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАЗМЕРНОЙ ЦЕПИ.

Номинальные размеры звеньев размерной цепи связаны друг с другом уравнением:

Уравнение представляет сумму независимых случайных величин, записанных в общем виде:

– замыкающее или исходное звено,

– соответственно увеличивающее и уменьшающее звено.

Оно называется уравнением исходного (замыкающего) звена размерной цепи.

Если уравнение записать в виде:

то его называют уравнением размерной цепи:

ЛЕКЦИЯ 2

ПЛАН ЛЕКЦИИ

2.1. Расчёт размерных цепей методом полной взаимозаменяемости. Последовательность расчёта способом координат допусков.

1.7. РАСЧЁТ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

ПОЛНОЙ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ

Метод полной взаимозаменяемости обеспечивает такие условия расчёта и изготовления, что требуемая точность замыкаемого звена размерной цепи достигается при замене любого её звена другим аналогичным по номенклатуре звеном без выбора, подбора и без изменения его величины путём дополнительной обработки.

На полную взаимозаменяемость размерные цепи в основном решают способом координат допусков (см. PД 50-635-87);

Для расчёта используют уравнения номинальных значений звеньев размерной цепи (основное уравнение), допусков, координат середины полей допусков, верхних и нижних отклонений. Перечисленные уравнения приведены ниже:

– соответственно допуски замыкающего (исходного) и составляющих звеньев;

– соответственно координаты середин полей допусков замыкающего (исходного) звена, увеличивающих и уменьшающих составляющих звеньев;

– верхние отклонения допусков замыкающего (исходного) звена, увеличивающих и уменьшающих составляющих звеньев.

Для проверки выполненных уравнений используется уравнение;

Результат вычислений записывают в виде:

ТЕМА 2. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.1. Поле допуска. Допуск.

2.2. Функции распределения.

2.3. Усеченное распределение.

2.1. ПОЛЕ ДОПУСКА. ДОПУСК

Любой производственный размер, обозначаемый буквой X, до изготовления изделия можно рассматривать как случайную величину X, принимающую те или иные числовые значения поле изготовления изделия.

Числовое значение называется действительным размером.

Возможные значения X всегда заключены в определённом интервале , т.е.

(см. рис. 1)

Интервал называют интервалом возможных значений размера X, а его концы соответственно наименьшим и наибольшим возможными значениями размера X.

Обычно не все значения из интервала приемлемы для использования, а только те, которые находятся в интервале , содержащимся в .

Изделия с размером считаются годными, если

Интервал называют интервалом допустимых значений X или полем допуска размера X, и соответственно наименьшим и наибольшим предельными размерами для X, а разность называют допуском размера X и обозначают T:

Координата X_с середины поля допуска определяют из выражения

Назначение допуска и поля допуска обеспечивает возможность экономичного изготовления детали и возможность взаимозаменяемости детали в изготовленной машине.

Взаимозаменяемость – свойство деталей занимать свои места в машине без предварительного подбора или подгонки их размера по месту.

Для ликвидации брака изготовление деталей переносят на более точное оборудование. В результате этого интервал сужается до интервала так, что и , однако при этом повышается стоимость обработки. Зависимость между стоимостью C и допуском T для фиксированного представлена на рисунке 2.1. Из рисунка 1 видно, что чем меньше допуск на изготовление детали, тем больше стоимость. Решение задачи рационального, экономичного назначения допусков может быть осуществлено методами теории вероятности и методами исследования операций.

Рис.2.1. Допуск. Поле допуска

2.2. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Путь на станке обрабатывают в размер X N заготовок. N – достаточно большая величина. Интервал всех возможных значений размера X – . Может возникнуть вопрос: "Как часто следует ожидать появления того или иного значения X в пределах интервала ?". На языке теории вероятностей этот вопрос формулируется по другому: "Какое распределение на интервале имеет размер X?"

Существует два способа задания распределения. К наиболее распространенным принадлежат Рис.3.1.Графическое аналитический и графический в виде графика). представление функции Аналитически распределение задаётся в виде распределения

функции, обладающей особыми свойствами. Пример графического представления дан на рис.3.1.

Чтобы получить представление о характере распределения необходимо:

1) иметь большое количество изготовленных деталей в N штук – генеральную совокупность;

2) произвести из этой генеральной совокупности случайную и независимую выборку объёмом n единиц (обычно n 40…60 единиц)

3) измерить интересующий размер X;

4) результаты измерения статически обработать и построить гистрограмму (рис.2.) распределения размера X, которая и будет давать представление о характере, т.е. закон распределения размера X –

Гистрограмма – это столбиковая диаграмма, содержащая в общем случае k столбиков. Ширина столбика h – это 1/k разности между наибольшим и наименьшим размером в выборке. Каждый из n размеров принадлежит тому или иному столбику. Высота столбика пропорциональна количеству размеров, принадлежащих ему.

Если выборка объёмом n отражает закономерность изготовления размера X на данном оборудовании, т.е. произведена правильно, то график гистрограммы распределения, согласно теореме Бернулли, при и будет неограниченно близко приближаться к некоторой неподвижной кривой . Функция в этом случае называется дифференциальной функцией распределения или, сокращённо, просто распределением

Гистрограммы распределений, действительно отражающие объективно существующие закономерности, называют репрезентативными (т.е. представительными) гистрограммами для распределения , а выборки, соответствующие гистрограммам – репрезентативными выборками распределения .

Для репрезентативных гистрограмм верно соотношение:

где – вероятность события X в интервале h или – вероятность попадания случайной величины X в интервале .

Интервал возможных значений размера X – , на котором определено распределение , может уложиться или нет в интервал допустимых значений . Поэтому возникает задача определения вероятности попадания значений размера в заданный интервал.

Соотношение для позволяет получить формулу для вычисления вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал , содержащийся в :

Геометрически означает площадь криволинейной трапеции (рис.2.)

Поскольку в интервале попадают все значения размера X, содержащийся в выборке объёмом n, то попадание значения случайной величины X в этот интервал будет достоверным событием. Поэтому:

Из данных соотношений можно получить характерные свойства любого из распределений.

Определение 1. Любая функция , обладающая двумя следующими свойствами:

на

может быть названа распределением на .

Интервал может быть как конечным (замкнутым или незамкнутым), так и бесконечным. В некоторых случаях его удобно называть теоретическим интервалом для распределения .

Часто в вероятностных расчетах приходится применять интегральную функцию распределения , которая определяется равенством:

,

где – вероятность принятия случайной величиной X значения, меньшего или, что то же, вероятность попадания случайной величины X в интервал . Сокращённо интегральную функцию распределения называют интегральным распределением.

Распределением и интегральное распределение связаны формулами:

Распределение , а также интегральное распределение являются полной (исчерпывающей) характеристикой случайной величины X.

2.3 УСЕЧЁННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Для производства, в общем случае, пригодны не все значения размера X из интервала возможных значений , а лишь те, которые находятся в пределах интервала допустимых значений . Остальные значения отсеивают. Отсеивание негодных значений размера X не ведёт, однако, к нарушениям основных свойств распределений. Новое полученное распределение им веем отвечает, поскольку теперь все значения размера X из интервала являются достоверным событием и

Соответствие негодных значений размера

X и соблюдение указанного условия

тем не менее ведут к

деформации распределения на Рис.3.2. Усечённое распределение

по отношению к исходному

распределению на интервале . Обозначим распределение на интервале через . Можно показать, что для распределений на и на будет иметь место следующая теорема.

Теорема. Распределения и связаны равенством:

Доказательство в кн. Н.А.БОРОДАЧЁВА

"Основные вопросы теории точности производства." М.-Л, изд-во АН СССР, 1950.

Распределение называется усечённым по отношению к распределению . Интервал называется интервалом усечения (рис.3.2.)

Усечённое распределение называется односторонним, если .

Возможны случаи, когда или , а также и

ТЕМА 2. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 3

ПЛАН ЛЕНЦИИ

2.4. Обрубленное распределение.

2.5. Некоторые виды законов распределения.

2.4. ОБРУБЛЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Особенности инженерных расчетов размерных цепей требуют введения в рассмотрение понятия обрубленного распределения, которое не следует путать с понятием усечённого распределения.

Пусть распределение определено на интервале , тогда в силу 2-го свойства распределений,

Равенство обозначает сходимость Рис.4.1. Обрубленное распределение

несобственного интервала. Отсюда

следует, что для любого сколь угодно малого наперёд заданного числа можно указать такие т , для которых для которых будут выполнятся равенства:

Из равенства можно найти значения и .

Очевидно, значения и есть функции , т.е. и .

Далее можно записать:

При очень малых значениях будет . Поэтому событие является практически достоверным.

Интервал будем называть практическим интервалом изменения случайной величины X или практическим интервалом для распределения , определённую на практическом интервале , обрубленным распределением (рис.4.1.)

Следует отметить, что обрубленное распределение не является распределением в строгом вероятностном смысле, так как 2-е свойство распределений соблюдается приближённо, т.е.

Выбрав тот или иной практический интервал , мы тем самым как бы "обрубаем" и "отбрасываем" концы бесконечной кривой распределения и рассматриваем только обрубленную кривую распределения .

В технологии машиностроения так поступают, например, с нормальным распределением, для которого в качестве концов и практического интервала обычно берут значения, определяемые равенствами:

Практически интервал с такими концами удобно называть стандартным интервалом нормального распределения, чтобы отличить его от других возможных практических интервалов, например или и т.д., а обрубленное нормальное распределение на стандартном интервале – стандартным нормальным распределением.

Пример:

При изготовлении размер X детали подчиняется нормальному распределению

Найти стандартный интервал рассеяния и его длину.

Решение:

Из записи для следует

Отсюда:

В случае нормального распределения ширина практического интервала может быть определена как , где t – коэффициент, определяющий практического интервала.

2.5. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЗАКОНОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В исследовательской и практической деятельности в технологии машиностроения чаще всего приходится встречаться со следующими видами теоретических распределений:

1) по нормальному закону (закон Гаусса) – рис.4.2,а

2) по закону эксцентриситета (закону Релея) – рис.4,2,б

3) по закону модуля разности – рис.4.2, в

4) по равновероятному закону – рис.4.2,г

Рис.4.2..Законы распределения

2.5.1.НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Нормальный закон распределений занимает особое положение среди других законов распределения, так как встречается чаще остальных и является предельным законом по которому, при определённых условиях, стремятся другие распределения.

Нормальным законом распределения (сокращённо, нормальным распределением) непрерывной случайной величиныX называют распределением вида:

е

где и математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Простейшим нормальным распределением называют нормальное распределение, для которого M = 0 и G = 1:

е

Такое распределение называют нормированным нормальным распределением. Для удобства выполнения расчетов это распределение табулировано. Любое нормальное распределение может быть сведено к нормированному путём замены переменной. Обозначая , получаем

По этой формуле с помощью таблицы может быть вычислено значение при любом ..

В технологии машиностроения нормальные распределения имеют, как правило, погрешности линейных размеров, форм и шероховатостей поверхностей деталей, физико-механические свойства заготовок и другие показатели.

2.5.2. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА

(закон Релея) относится к группе законов распределения существенно положительных величин. Существенно положительными величинами в технологии машиностроения называют такие признаки качества продукции, отклонение которых от номинального размера, равного нулю, выражается положительными числами. Существенно положительными величинами являются биение, эксцентриситет, непараллельность, неперпендикулярность и другие погрешности геометрической формы изделия.

– общее выражение закона эксцентриситета.

Заменой переменной приводится к нормированному виду

где R – обозначение существенно положительной величины.

Значения табулированы и применяются для расчета по формуле

2.5.3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ РАЗНОСТИ

описывает распределение существенно положительных величин, но в том случае когда эта величина r может быть представлена как модуль разности двух других случайных величин, распределённых нормально с параметрами (– математические ожидания величин и , и – их дисперсии).

Этому закону подчиняются следующие параметры: несимметричность поверхностей, имеющих общую ось или плоскость симметрии, непараллельность плоскостей, которые в номинале должны быть параллельны, непараллельность осей цилиндрических поверхностей в фиксированной плоскости, неперпендикулярность двух осей, овальность, определяемая как разность между максимальным и минимальным диаметрами и др.

Математическое выражение закона в общем виде:

где

Заменой переменных и приводится к нормированному виду:

Значения табулированы и применяются для расчета .

2.5.4. ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

(законом равной вероятности) называют распределение непрерывной случайной величины X на интервале , если в этом интервале случайная величина сохраняет постоянное значение плотности распределения, а вне его равна нулю.

Математическое выражение закона в общем виде:

Закономерность имеет простой вид и легко вычисляется, поэтому не имеет смысла приводить её к нормированному виду и табулировать.

ТЕМА 2. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (продолжение)

ЛЕКЦИЯ №4

ПЛАН ЛЕКЦИИ

2.6. Числовые характеристики непрерывных и дискретных распределений.

2.7. Симметричные и ассиметричные распределения.

2.8. Заключение по теме 2.

2.9. Расчёт размерных цепей методом неполной взаимозаменяемости. Применение теоремы Ляпунова.

2.10. Расчёт размерных цепей методом групповой взаимозаменяемости, регулировки и пригонки. Основные сведения.

2.11. Итоги по теме 1.

4.1. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ

ВЫБОРОЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Теоретическое распределение характеризует распределение исследуемого признака в генеральной совокупности, а выборочное – в выборке, осуществлённой из этой совокупности. Если выборка репрезентативна, то эти распределения в вероятностном смысле идентичны друг другу и выборочное распределение, как и его числовые характеристики, являются оценками теоретического распределения и его числовых характеристик (параметров).

Числовыми характеристиками теоретического и выборочного распределений на интервале являются (рис.6).

1) математическое ожидание и среднее арифметическое :

где – объём выборки,

2) дисперсия и выборочная (эмпирическое) дисперсия ;

3) среднее квадратическое отклонение и выборочное (эмпирическое) среднее квадратическое отклонение

;

4) поле рассеяния и выборочный (эмпирический) размах:

Рис. 5.1. Закон распределения и его

числовые характеристики

5) медиана и выборочная (эмпирическая) медиана:

– среднее значение признака в выборке, слева и справа от которого находятся одинаковое количество наблюдений.

6) мода и выборочная (эмпирическая) мода :

– значение признака, которому соответствует наибольшее число наблюдений.

7) коэффициент относительной асимметрии :

где – координата середины поля допуска

– допуск

8) коэффициент относительного рассеяния :

9) коэффициент относительного рассеяния :

– относительное среднее квадратичное отклонение

Между коэффициентами и существует зависимость:

Коэффициенты и нашли применение в работах:

1) Цепи размерные PDSO–635–87

2) Балакшин Б.С. Основы технологии машиностроения, 1966г.

Коэффициенты и нашли применение в работах:

1) Методика расчёта размерных цепей на базе теории вероятностей РТМ 32–61 1970.

2) Бородачёв Н.А. Основные вопросы теории точности производства. 1950.

Для стандартного нормального распределения, определенном на интервале поля допуска, т.е. когда , , , .

2.7. СИММЕТРИЧНЫЕ И АСИММЕТРИЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Распределение называют симметричным на , если для любого из интервала имеет место равенство (рис.5.2) , где .

Распределение называют асимметричным на , если оно не является симметричным на (рис.5.3).

Рис.5.2. График симметричного распределения.

Рис. 5.3. График асимметричного распределения,

Если распределение на является симметричным, то коэффициент относительной асимметрии такого распределения будет равен нулю (т.е. )

Обратное утверждение не имеет места.

2.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В лекциях темы 2 рассмотрены элементы теории функции вероятностных распределений и некоторые понятия из курса "Основы взаимозаменяемости и технические измерения" в их взаимосвязи с начальными примерами приложения этих понятий для анализа точности и экономичности технологических операций. При этом главное внимание следует уделить усвоению понятий, связанных с теорией функции распределения.

2.9. РАСЧЁТ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ

НЕПОЛНОЙ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ

(способы расчёта: предельных значений, координат допусков, отклонений, средних значений; последовательность расчёта способом координат допусков).

Расчёт на полную взаимозаменяемость не учитывает вероятностную картину распределения и сочетания размеров звеньев размерной цепи, когда минусовые погрешности одних звеньев компенсируются плюсовыми отклонениями других звеньев и т.д. Это свойство взаимокомпенсации погрешностей особенно отчётливо проявляется в многозвенных цепях. Поэтому метод полной взаимозаменяемости целесообразно применять для решения только малозвенных размерных цепей, с числом составляющих звеньев не более четырёх. Для решения многозвенных размерных цепей следует применять метод неполной взаимозаменяемости, где в расчётной методике учитываются вероятностные свойства самих размеров и их сочетаний. В результате допуск замыкающего звена, определённый как вероятностная сумма допусков составляющих звеньев, получается у^/же и, наоборот, допуски составляющих звеньев, определённые исходя из допуска исходного звена – шире. И это и другое является положительным явлением. Чем шире допуск составляющего звена, тем проще и дешевле изготовить это звено.

На неполную взаимозаменяемость размерные цепи могут быть решены следующими способами:

1) способ предельных значений;

2) способ координат допусков (см. PД 50-635-87);

3) способ средних значений.

Далее рассмотрим только способ координат допусков. В основном расчёт по методу неполной взаимозаменяемости аналогичен расчёту на полную взаимозаменяемость. По тем же зависимостям рассчитывают номинальные значения, координаты середин полей допусков, верхние и нижние отклонения поля допуска. Отличие заключается в способе расчёта величины допуска.

Для определения допуска замыкающего (исходного) звена используют формулу теоремы о дисперсии суммы независимых случайных величин:

Данное выражение для , преобразуют в выражение для полей рассеивания , а затем и допусков . Для этого вводят понятие относительного среднего квадратического отклонения для составляющих звеньев и преобразуют выражение через практический интервал для исходного (замыкающего) звена, принимая во внимание, что оно, согласно теореме Ляпунова имеет нормальное либо близкое к нему распределение:

Подставляя эти выражения в уравнение дисперсий и преобразовывая его, получаем:

где – коэффициент, определяющий ширину практического интервала, обрубающего нормальное распределение

Для работы без брака должно выполняться соотношение

Подставляя в формулу вместо , имеем выражение для расчёта допусков:

Коэффициент определяет точность расчёта: чем больше , тем меньше вероятность брака в производстве, получающегося за счёт не учета отброшенных при обрубании частей нормального распределения. Это можно видеть из таблицы.

0,01 0,05 0,1 0,27 0,5 1 2 3 5 10

3,89 3,48 3,29 3 2,81 2,57 2,32 2,17 1,96 1,65

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЛЯПУНОВА

Пусть случайные величины и имеют распределения и на конечных интервалах и .

Тогда в соответствии с теоремой Ляпунова:

1) случайная величина при любом будет иметь нормальное распределение если:

и – нормальные распределения

и – стандартные интервалы.

2) случайная величина при будет иметь нормальное распределение если: и – произвольные распределения соответственно на интервалах и , имеющих приблизительно одинаковую длину и :

;

Из этих двух положений следует вывод: распределение при достаточно большём будет мало отличатся от нормального, лишь бы значения и были приблизительно одинаковы. При этом знать распределения и не обязательно.

2.10. РАСЧЁТ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ МЕТОДАМИ ГРУППОВОЙ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ, РЕГУЛИРОВКИ И ПРИГОНКИ.

В дальнейшем обучении в курсах "Основы взаимозаменяемости и технические измерения" и "Технология машиностроения".

2.11. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ТЕМЕ 2

Более подробно и основательно теория размерных цепей рассматривается в дальнейшем в курсах "Основы взаимозаменяемости и технические измерения" и "Технология машиностроения". В данном курсе, который является вводным, в первую очередь следует обратить внимание на усвоение основных понятий и определений в теории размерных цепей, методику их расчёта на полную и неполную взаимозаменяемость, изучить области применения.

ЛЕКЦИЯ 5

ПЛАН ЛЕКЦИИ

ТЕМА 3. ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ В РАЗМЕРНЫХ РАСЧЁТАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

3.1. Понятие о размерном анализе технологических процессов.

3.2. Классификация задач размерного анализа технологического

процесса.

3.3. Пример размерного анализа технологического процесса.

3.4. Итоги изучения темы лекции 5.

3.1. ПОНЯТИЕ О РАЗМЕРНОМ АНАЛИЗЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Размерный анализ – это комплекс размерных расчетов, производимых по ходу технологического процесса, с целью выявления, анализа и количественного расчета попеременно возникающих, исчезающих и вновь возникающих размерных связей между поверхностями изделия ( детали ), определяющих уровень качества конечного результата, и необходимых для осуществления технологического процесса и контроля положения соответствующих этих поверхностей. Необходимость в размерном анализе технологических процессов возникает, если при их проектировании не соблюдается в той или иной степени основные положения науки “Технология машиностроения”.

При изучении дисциплины “Технология машиностроения” студентам излагаются основные принципы проектирования рациональных технологических процессов. В частности, такие как:

1) принцип соблюдения единства конструкторских, технологических и измерительных баз;

2) принцип соблюдения постоянства технологической базы по ходу всего технологического процесса;

3) принцип постепенного многопереходного обработкой достижения точности размеров и шероховатости поверхностей изделия ( детали ) при превращении его из заготовки в готовую продукцию данного этапа производства;

4) принцип оптимальной концентрации переходов обработки в одной операции;

5) принцип синхронизации по времени операций технологического процесса с целью повышения производительности обработки и др.

Сложность проектирования технологических процессов однако такова, что не всегда возможно в полной мере следовать этим принципам. Найти рациональную меру отступления от этих принципов позволяет размерный анализ и соответствующие размерные расчеты, т.е. позволяет оптимальным образом решить поставленную задачу.

Простейшим примером неизбежного нарушения 1-го принципа являются широко везде осуществимые технологические процессы обработки валов с базированием по центровым отверстиям в ходе токарной их обработки ( Рис. 8.1)

Рис. 8.1. Схема базирования вала при токарной обработке.

Конструктор в чертеже изделия задает диаметры и длины степеней вала (рис.8.1) размерами . Этим самым он указывает, что данные поверхности являются конструкторскими базами. Технолог же, проектируя технологический процесс обработки вала, выбирает в качестве технологических баз поверхности центровых отверстий, специально подготовленные для этой цели предшествующей обработкой. Так