Графіки алгебраїчних функцій
Лінійна функція. Функція вигляду називається лінійною функцією. Графіком функції є пряма лінія, яку можна побудувати за двома точками. Наприклад, якщо то , отже, – точка перетину з віссю ; якщо , то , маємо точку – точку перетину з віссю
Множник називається кутовим коефіцієнтом. Його геометричний зміст – , де – кут нахилу прямої до додатного напрямку осі ( рис. 4.10).
Рис. 4.10 Рис. 4.11
Приклад 4.6. Побудувати прямі і Знайти точку перетину прямих і кут нахилу прямої до осі
Розв’язання. 1) На : якщо то отже, – точка перетину з віссю ; якщо то отже, – точка перетину з віссю Таким чином, якщо відмітити точки і і провести через них пряму, то одержимо графік заданої функції . Аналогічно на маємо і – точки перетину відповідно з осями і Отже, з’єднуючи точки і , одержимо пряму (рис. 4.10). 2) Щоб знайти точку перетину двох графіків, треба прирівняти обидві функції: Розв’язком рівняння є Підставимо у будь-яке з рівнянь заданих прямих і одержимо ординату точки перетину Отже, – шукана точка. 3) Оскільки то
Пряма і обернена пропорційність.Найпростіший вигляд має рівняння прямої, яка проходить через початок координат: . Таке співвідношення між змінними і називається прямою пропорційністю, а число - коефіцієнтом пропорційності
(рис. 4.11, =2).
Співвідношення називається оберненою пропорційністю. Графіком функції є гіпербола. Зазвичай гіперболу будують за точками. Оскільки функція є непарною, то спочатку будують одну гілку (для ), а другу будують симетрично початку координат. Прямі є асимптотами графіка (див. рис. 4.11, =2).
Приклад 4.7. Побудувати графік функції .
Розв’язання. Обчислимо кілька значень функції Таблиця 4.2
та запишемо їх для зручності у табл. 4.2. З
урахуванням симетрії та наявності асимптот будуємо
за точками задану криву (див.рис. 4.11).
Квадратична функція. Функція вигляду називається квадратичною функцією. Її графіком є парабола. Залежно від коефіцієнта та дискримінанта графік цієї функції може мати вигляд, наведений у табл. 4.3.
Таблиця 4.3
Абсциси вершин | , |
Степенева функція. Функція вигляду , де (довільна стала) – показник степеня, називається степеневою функцією від незалежної змінної . На рис. 4.12 наведено графіки степеневих функцій при деяких додатних значеннях , на рис. 4.11 – для від’ємних.
Аналізуючи графіки, які наведено на рис. 4.11 і 4.12, можна зазначити таке:
1) функції , , є частковими випадками степеневої функції;
2) коли , всі графіки проходять через точки (0;0) і (1;1);
3) якщо , то більшому значенню відповідає більше значення ;
Рис. 4.12
4) коли , то і лінії і є асимптотами графіка функції;
5) якщо – парне, то графік розташовано у І та ІІ чвертях, а якщо непарне – у І та ІІІ чвертях.
4.3. Графіки тригонометричних функцій
Основними тригонометричними функціями є функції , , , . Графіки цих функцій наведено на рис. 4.13 – 4.16.
Рис. 4.13
Рис. 4.14
Рис. 4.15 Рис. 4.16