Контрольні запитання

1. Запишіть диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

2. Запишіть диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

3. Запишіть диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

Продемонструємо застосування наведених рівнянь при на конкретному прикладі. Механічна система (рис. 4.1) складається з бруска 1 (= 5 кг), ступеневого блоку 2 (= 4 кг, великий радіус = 20 см, малий = 10 см, = 0,2 кг×м²) та однорідного циліндра 3 (= 22 кг, = 10 см). Під дією сили тяжіння зі стану спокою тіла системи приходять у рух. Брусок 1 ковзає по похилій площині, яка утворює кут = 30° до горизонту, коефіцієнт тертя ковзання = 0,2. Визначити прискорення тіл та натяги мотузок, якими з’єднані тіла механічної система. Тертя на осі блока 2 відсутнє, масою мотузок нехтувати, вважаючи їх нерозтяжними. Мотузка, що з’єднує тіло 1 та 2 паралельна похилій площині.

Розв’язання. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух догори похилої площини і на момент, коли воно пройде шлях S₁, має прискорення .

В цьому випадку тіло 2 буде обертатися за напрямом руху стрілки годинника з певним кутовим прискоренням , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти напряму руху стрілки годинника з кутовим прискоренням , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз з лінійним прискоренням (рис. 4.2).

З’ясуємо сили, які діють на кожне з тіл нашої системи щоб записати рівняння руху кожного тіла. Так, на перше тіло діють сила тяжіння , реакції опори , сили тертя та натягу мотузки . Векторна сума цих сил зумовлює прямолінійний рух першого тіла вздовж похилої площини

. (1)

На друге тіло діють: сили тяжіння , реакція осі блоку та натяги мотузок та . Сума моментів цих сил відносно нерухомої осі блоку зумовлює обертальний рух другого тіла. Оскільки моменти сил та відносно осі блоку дорівнюють нулю, рівняння обертального руху тіла 2 набуває вигляду

, (2)

а відсутність поступального руху дає

= 0. (3)

На трете тіло діють сили натягу мотузок , та сила тяжіння - ці сили зумовлюють плоскопаралельний рух третього тіла, який запишемо як суперпозицію поступального руху його центра С з лінійним прискоренням та обертального руху навколо цього центру з кутовим прискоренням :

, (4)

. (5)

Послідовно отримаємо скалярні рівняння руху для кожного з тіл, які входять до нашої системи. Для першого тіла спрямуємо вісь декартової системи координат вздовж напряму його руху, вісь перпендикулярно до похилої площини. В проекціях на обрані вісі отримуємо:

,

.

З останнього рівняння знаходимо

,

що дає вираз для сили тертя

.

Тоді для рівняння поступального руху тіла 1 отримуємо

. (6)

Для другого тіла введемо декартову систему координат . Спря-муємо вісі та горизонтально та вертикально і тоді в проекціях на ці вісі отримаємо

, (7)

. (8)

Вісь спрямуємо через центр блоку перпендикулярно площині рисунку від нас і отримаємо рівняння його обертального руху

. (9)

Рух третього тіла можна визначити як суперпозицію поступального руху його центра маси С з лінійним прискоренням та обертальним рухом навколо цього центру з кутовим прискоренням . Для цього тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, вісь спрямуємо вздовж прискорення поступального руху (вниз), а вісь обертання – проведемо через його центр маси перпендикулярно до площини рисунку до нас (в напрямі кутового прискорення тіла). Тоді рівняння поступального руху центра третього тіла та обертального руху навколо його осі набувають вигляду:

, (10)

, (11)

де - момент інерції циліндру відносно осі .

Таким чином, ми отримали систему шести рівнянь (6) – (11) з одинадцятьма невідомими: , , , , , , , , , , . Щоб система рівнянь стала повною, скористуємось третім законом Ньютона і умовою невагомості та нерозтяжності мотузок:

, . (12)

Умови відсутності деформацій мотузок дає рівняння, які зв’язують між собою швидкості тіл системи. Швидкість точки А (дотику мотузки до зовнішньої поверхні блока 2) співпадає зі швидкістю першого тіла, тому

. (13)

Трете тіло здійснює плоскопаралельний рух з ненульовою кутовою швидкістю , отож, це тіло має миттєвий центр швидкостей (МЦШ) навколо якого воно здійснює обертальний рух. МЦШ розташований в точці Р – дотику циліндра до нерухомої мотузки. Рівність лінійних швидкостей точок () та D () дає зв’язок між кутовими швидкостями блоку 2 та циліндра 3

. (14)

Лінійна швидкість центру циліндра зв’язана з його кутовою швидкістю

. (15)

Шляхом диференціювання обох частин рівнянь (13), (14) та (15) отримуємо:

, (16)

, (17)

. (18)

З (18) знаходимо зв’язок лінійного прискорення точки С з лінійним прискоренням першого тіла

. (19)

Система рівнянь (6)–(11) розпадається на дві незалежні: (6,9 – 11) та (7 –8). Підставимо отримані співвідношення (12) та (16-18) та в систему рівнянь (6,9 – 11):

, (20)

, (21)

, (22)

. (23)

Розв’язок системи чотирьох рівнянь з чотирма невідомими , , , є суто алгебраїчною задачею, яка може буди розв’язана різними методами

. (24)

Для проведення розрахунків, візьмемо до уваги, що момент інерції однорідного циліндра визначається за формулою = 0,025 кг^.∙м². Підставляючи дані задачі, отримуємо

= 2,12 (м/с²),

що дозволяє отримати вирази для натягу ниток , , з рівнянь (20) – (22).