Математическое описание электропривода в проекциях векторов

Электромагнитный момент асинхронного двигателя [Л.1:2.1;2.2]

Рассмотренные описания процессов еще недостаточны для получения полной математической модели двигателя, т.к. они не касаются процесса преобразования электрической энергии в механическую. Главной величиной, характеризующей этот процесс, является электромагнитный момент, возникающий в результате взаимодействия токов в обмотке статора и магнитного поля, в котором они находятся.

Выражения, описывающие электромагнитные переменные в пространственных векторах, вращающихся синхронно с вращающейся системой координат следующие:

Принципиальным отличием этих выражений от рассмотренных в первом разделе является то, что это дифференциальные уравнения, т.е. рассматривается не только статика, но и динамика электропривода. Они могут быть использованы для представления математического описания всего электропривода в виде структурных схем, если к ним добавить уравнение движения и равенство, связывающее угловую частоту напряжения питания со скоростью двигателя и угловой частотой роторной ЭДС:

Для представления математического описания элек-тропривода с асинхронным двигателем в виде структур-ных схем необходимо выражать все переменные, включая и электромагнитный момент, через проекции их пространственных векторов во вращающейся системе координат.

Сначала рассмотрим вращающуюся систему с произвольной ориентацией координат α – β. Пространственные векторы, входящие в эти уравнения вращаются вместе с системой координат α – β в плоскости, перпендикулярной оси двигателя. Если ее рассматривать как комплексную, то каждый вектор может быть представлен комплексным числом:

Правые части этих равенств представляют собой проекции векторов на оси вращающейся системы координат. Поскольку векторы и оси координат вращаются в электрическом пространстве с одинаковой скоростью, то в стационарном режиме эти проекции представляют собой постоянные действительные числа.

Порядок перехода от записи уравнений в пространственных векторах к записи его в проекциях на оси покажем на примере первого уравнения системы в координатной плоскости α – β. Для этого запишем входящие в него векторы в виде комплексных чисел:

После разделения вещественных и мнимых частей получаются два равенства:

Эта форма записи широко используется для составления структурных схем, в которых переменными выступают проекции векторов на оси вращающейся системы координат, являющихся основой векторного управления.

Для представления математического описания электромагнитного момента требуются некоторые пояснения. Электромагнитный момент двигателя является результатом взаимодействия магнитных систем статора и ротора, и может быть представлен векторным произведением потокосцеплений статора и ротора. Учитывая то, что потокосцепления создаются токами соответствующих обмоток, его можно так же представить векторным произведением токов статора и ротора или комбинацией токов и потокосцеплений. С другой стороны, момент – не векторная величина, поэтому его при векторном описании следует выражать через проекции векторов потокосцеплений или токов. Таким образом, можно получить ряд выражений, устанавливающих связь момента с проекциями векторов токов и потокосцеплений статора и ротора:

В этих выражениях коэффициент 3/2 означает то, что момент создается тремя фазами, а коэффициент 2 в знаменателе отражает переход от модулей (амплитуд) векторов к их действующим значениям. Выбор того или иного описания момента определяется предполагаемым способом построения системы управления.

Структурная схема при произвольной ориентации вращающейся системы координат [Л.1:2.3]

Исходными для составления структурной схемы являются уравнения электропривода в проекциях на оси вращающейся системы координат α и β:

где Т₁ и Т₂ - постоянные времени обмоток статора и ротора.

Значения модулей векторов тока и потока статора можно рассчитать по формулам:

; .

Структурная схема, соответствующая этим выражениям, представлена на рис.4.

Рис.4. Структурная схема при произвольной ориентации системы координат.

В ней можно выделить блок формирования электромагнитного момента, входными воздействиями для которого являются проекции вектора напряжения статора и , а также частота напряжения статора . Выходной величиной является момент двигателя М_д. Второй - блок, описывающий механическую часть электропривода. Его выходная величина – скорость двигателя .

Схема описывает процессы, происходящие в асинхронном двигателе, в котором действуют переменные величины синусоидальной формы. Однако, благодаря

описанию их пространственными векторами, вращающимися вместе с системой координат, все переменные и входные воздействия в блоке формирования момента представляют собой сигналы постоянного тока. Эти сигналы остаются неизменными в установившихся режимах и изменяются только при переходных процессах.

Блок формирования момента включает в себя апериодические звенья, попарно охваченные положительными обратными связями и четыре перекрестные связи, что предопределяет колебательный характер изменения момента и тока статора.

Рассмотренная структурная схема из-за своей сложности не нашла практического применения, но она полезна для получения представления о характере внутренних связей и структуре двигателя как объекта управления.

Сделать структурную схему более простой

можно, если систему координат ориентировать по вектору какой-либо переменной. Например, при регулировании скорости кроме задания по скорости необходимо задавать также модуль и фазу напряжения статора, чтобы сформировать управляющие воздействия и . Если же можно задавать только модуль напряжения U₁, то ось вращающейся системы α следует направить по этому вектору (рис.5). При этом U₁ = , а = 0, чему Рис.5. Проекции вектора U₁ на оси

соответствует равенство углов θ и θ_С при θ₁ = θ. вращающейся системы координат

Структурная схема при ориентации системы координат

по вектору потокосцепления ротора [Л.1:2.4]

Особый интерес представляет собой структурная схема системы с ориентацией оси α по вектору потокосцепления ротора Ψ₂ , на базе которой строятся системы векторного управления асинхронным двигателем, получившие широкое распространение в практике электропривода. Для ее построения необходимо использовать исходные уравнения, предварительно преобразовав их так, чтобы все переменные были выражены через I₁ и Ψ₂ , т.к. конечной целью является формирование момента двигателя. Хотя момент можно выразить любым сочетанием токов и потокосцеплений обмоток, но выбор именно этих переменных обусловлен следующими соображениями. Ψ₂ является наиболее инерционной переменной, поэтому выбор именно Ψ₂, а не Ψ₁ позволит значительно упростить структурную схему. Стабилизировав же Ψ₂ момент можно регулировать изменением I₁, регулирование которого легко реализовать.

Так как в преобразователях частоты обычно используются инверторы напряжения, то в качестве управляющей величины логично принять напряжение обмотки статора U₁. Однако ток статора создается тем же напряжением, и нужно лишь обеспечить требуемый закон его изменения, используя для этого контур тока. Таким образом, регулирование момента можно выполнить управлением либо напряжением, либо током обмотки статора.

Для получения искомых выражений необходимо исключить недоступные для измерения I₂ и Ψ₁, выразив их через I₁ и Ψ₂:

После преобразований исходные уравнения примут вид:

Так как при ориентации оси вещественных по вектору Ψ̃₂ имеет место Ψ̃₂ = ψ_2α = ψ₂,

то переходя к представлению векторов в виде комплексных чисел получим:

после чего исходная система уравнений примет вид:

Структурная схема, составленная по этим

уравнениям, показана на рис.6.

Она отличается от схемы с произ-вольной ориентацией вращающейся системы (рис.4) не только своей конфигурацией, но и по существу. Ее главные отличия состоят в следующем:

1) Внешними управляющими воздей-ствия являются только проекции вектора напряжения статора u_1α и u_1β , а выход-ными величинами электромагнитной части – потокосцепление ротора Ψ₂ и электромагнитный момент М_д.

2) В структуре двигателя существуют перекрестные связи между каналами формирования потокосцепления Ψ₂ и момента М_д. Рис.6. Структурная схема двигателя при ориен-

3) Частота напряжения на статоре ω_0эл тации по вектору потокосцепления ротора

как управляющее воздействие не рассматривается и определяется через скорость двигателя и частоту роторной ЭДС, которая, в свою очередь, рассчитывается через значения составляющей тока статора i_1β и потокосцепление ротора.

Управляющие воздействия. Сигналом u_1α задается величина потокосцепления, а

сигналом u_1β - величина момента. Однако из структурной схемы видно, что на входы блоков (1/ R₁)/(σT₁ p) кроме управляющих воздействий u_1α и u_1β поступают сигналы перекрестных связей по проекциям вектора тока статора i_1α и i_1β. Из-за этого не может быть достигнута однозначная зависимость между входными и выходными величинами.

Если бы тем или иным способом удалось исключить (или свести к минимуму) влияние перекрестных связей, то, задавая значение u_1α , можно было бы независимо устанавливать потокосцепление ротора Ψ₂. В таком случае по установленному значению Ψ₂ с помощью составляющей напряжения u_1β, задавались бы значения электромагнитного момента. Благодаря этому, задачи управления потокосцеплением ротора и моментом были бы разделены подобно тому, как это имеет место в двигателе постоянного тока независимого возбуждения.

Наиболее эффективным способом исключения влияния перекрестных связей является непосредственное управление током статора. Это может быть достигнуто двумя способами: а) использованием для питания двигателя преобразователей час-тоты, управляемых током; б) организацией в преобразователях частоты с инверторами напряжения замкнутого контура регулиро- Рис.7. Структурная схема двигателя с

вания тока статора с заданием тока статора управлением током статора

по его проекциям i_1α и i_1β.

Из структурной схемы (рис.7), соответствующей второму способу, видно, что установившееся значение потокосцепления ротора однозначно определяется составляющей тока статора i_1α. При этом единственным управляющим воздействием является задание по моменту двигателя i_1β при фиксированном значении потокосцепления Ψ₂, задаваемым уставкой i_1α.

Следовательно, при токовом управлении становится возможным организация регулирования не только скорости, но и момента, что является его существенным достоинством.

В переходных режимах замедление потокосцепления по отношению к току i_1α характеризуется постоянной времени ротора Т₂. Электромагнитный момент при постоянном потокосцеплении ротора определяется только значением составляющей тока статора i_1β и без замедления следует за ее изменениями, т.е. момент изменяется так же быстро, как быстро изменяется составляющая тока статора i_1β. Это способствует обеспечению высокого быстродействия электропривода с асинхронным двигателем.

В преобразователях MOVIDRIVE фирмы SEW-EURODRIVE предлагаются оба способа управления и называются они соответственно: VFC (Voltage Flux Control) – с управлением по проекциям вектора напряжения u_1α и u_1β; CFC (Current Flux Control) – с управлением по проекциям вектора тока статора i_1α и i_1β и замкнутыми контурами регулирования токов фаз обмотки статора I_1А, I_1В, I_1С.

Регулирование скорости. Так как в асинхронном двигателе соотношение между моментом и скоростью однозначно определяется его механической характеристикой, то независимое задание одновременно и момента, и скорости не возможно. Следовательно, при задании момента двигателя частота напряжения на статоре ω_0эл управляющим воздействием быть не может. Она определяется суммированием текущих значений скорости двигателя ωи частоты роторной ЭДС ω_Р. В этом принципиальное отличие векторного управления от скалярного, при котором управляющим воздействием является заданная частота ω_0эл , а момент формируется с помощью компенсирующих связей.

В системах векторного управления используются два способа получения информации о скорости двигателя ωи частоты роторной ЭДС ω_Р: 1) с помощью датчиков скорости; 2) бездатчиковое определение скорости расчетным путем.

При наличии датчика скорости в системе управления создается контур скорости, на вход регулятора которого подаются сигналы задания по частоте ω_0зад и обратной связи ωр_п. Выходной сигнал регулятора, пропорциональный их разности ω_Р = ω_0зад – ωр_п,с учетом коэффициента передачи регулятора скорости К_рс в системе управления снова суммируется с сигналом по скорости, формируя задание по частоте напряжения питания: ω_0эл = ωр_п + К_рсω_Р. Подбором К_рс достигается требуемая жесткость механических характеристик.

В бездатчиковых системах векторного управления текущее значение скорости двигателя определяется косвенно вычислением на моделях с использованием измеряемых значений напряжения и тока обмотки статора.