Математическое описание асинхронного двигателя

Математическое описание асинхронногодвигателя может выполняться двумя разными, но связанными между собой способами.

В первом рассматриваются синусоидальные напряжения, приложенные к одной фазе обмоток статора или ротора, токи в этих обмотках и создаваемые ими потокосцепления. Отличительная особенность данного способа состоит в том, что используемые зависимости между этими величинами определяются в установившемся режиме (U₁ = const, ω = const) и представляются в символической форме. Графической интерпретацией такого способа являются векторная диаграмма и Т-образная схема замещения асинхронного двигателя. На них базируются рассмотренные в первом разделе системы с U/f - управлением по модулям переменных, называемые скалярными.

Второй способ основан на математическом описании, учитывающем протекание электромагнитных процессов во времени; представлении трехфазных систем напряжений, токов и потокосцеплений в виде пространственных векторов и моделей двигателя в виде структурных схем. Выражения, описывающие электромагнитные переменные в пространственных векторах, вращающихся синхронно с вращающейся системой координат следующие:

Принципиальным отличием этих выражений от рассмотренных в первом разделе является то, что это дифференциальные уравнения, т.е. рассматривается не только статика, но и динамика двигателя. Они могут быть использованы для представления математического описания всего электропривода в виде структурных схем, если к ним добавить уравнение движения и равенство, связывающее угловую частоту напряжения питания со скоростью двигателя и угловой частотой роторной ЭДС. Он используется при описании электромагнитных процессов и построении систем векторного управления.

Представление трехфазной системы пространственными векторами [Л.1:1.4]

Математическое описание, рассмотренное ранее, не учитывало электромагнитных процессов в двигателе, протекающих во времени. Для их учета принято использовать описание трехфазных систем, базирующееся на представлении векторов в электрическом пространстве. При этом вектор любой переменной, изменяющейся по синусоидальному закону, совершает в этом пространстве полный оборот за один период ее изменения.

Так как магнитный поток создается тремя фазами, то для получения векторного описания электромагнитных процессов нужно рассматривать все три фазы двигателя. Магнитный поток создается магнитодвижущими силами F, а они в свою очередь токами обмоток, изменяющимися по синусоидальному закону. Приняв за t = 0 время, когда МДС обмотки фазы А имеет максимальное значение, для МДС обмоток трех фаз можно записать:

, где F_max – модуль вектора магнитодвижущей силы, - частота вращения вектора.

На рис.2.2 показаны пространственное распределение МДС трех фаз (рис.2.2,а) и результирующий пространственный вектор МДС для двух моментов времени: t = 0 (рис.2.2,б) и t = t₁ (рис.2.2,в). Ось абсцисс представляет собой развернутую в линию окружность воздушного зазора. Отложенный по осям абсцисс угол φ представляет собой пространственный угол в эл. рад., отсчитываемый от оси обмотки фазы А. Сплошными линиями показаны МДС в момент времени t = 0 (φ = ω_0элt = 0), а пунктирными – при t = t₁ (φ = ω_0элt₁ = π/6).

Рис.2.2. Пространственный вектор в трехфазной системе.

Результирующие кривые МДС статора F₁, построенные на нижней оси рис.2.2,а, получены суммированием косинусоид фазных МДС. Как видно из графика, за время t₁, равное 1/12 периода напряжения питания, максимум F₁ переместился в пространстве на угол ∆φ = π/6 эл. рад. На рис. (б) и (в) эти векторы показаны в неподвижной прямоугольной системе координат x-y, перпендикулярной оси двигателя и жестко связанной со статорной обмоткой. Ось вещественных х обычно направляют по оси обмотки фазы А. Рассматривая плоскость, в которой вращаются пространственные векторы, как плоскость комплексного переменного с осями х и y, связанными с неподвижным статором, можно представить пространственный вектор в декартовых координатах как

F̃₁ = f_1х + j f_1y ,

где f_1х и f_1y - проекции пространственного вектора на оси координат х и y. Здесь и далее пространственные векторы обозначаются символом «~», а их проекции обозначаются строчными буквами (f_1х и f_1y ). Таким образом, рис.2.2 иллюстрирует эффект вращения электрического и связанного с ним магнитного полей. Такое определение пространственного вектора может быть распространено на все другие переменные: напряжения, токи и потокосцепления статора и ротора.

Системы координат и их взаимосвязь [Л.1:1.5]

Кроме неподвижной системы координат x-y при рассмотрении процессов в асинхронном двигателе используется подвижная система координат, жестко связанная с роторной обмоткой и неподвижная относительно нее. Она вращается в электрическом пространстве вместе с ротором со скоростью .

Необходимость использования вращающейся системы координат обусловлена следующими причинами. Процессы, сопровождающие работу асинхронного двигателя, связаны и с изменением частоты питающего напряжения, протекающим в электрическом пространстве, и с изменением механических величин – момента и скорости вращения ротора, протекающими в физическом пространстве. Оба процесса взаимосвязаны, но происходят с разными частотами, что создает проблемы при выполнении вычислительных операций и построении систем управления. Введение двух систем координат позволяет разделить эти процессы и упростить их расчеты. Однако оно дополнитнльно требует пересчета переменных из одной системы координат в другую.

Не менее значительным является тот факт, что векторы всех переменных обмоток статора и ротора, изменяющиеся во времени с разными частотами, во вращающейся системе координат неподвижны относительно друг друга. Действительно, в установившемся режиме все относящиеся к статору пространственные векторы вращаются в электрическом пространстве со скоростю относительно неподвижной системы координат. Пространственные векторы, относящиеся к ротору, вращаются с такой же скоростью, поскольку их скорость относительно ротора определяется частотой роторной ЭДС , а сам ротор вращается относительно неподвижной системы координат со скоростью , или при : .

В установившемся режиме проекции каждого из векторов на оси вращающейся системы представляют собой постоянные величины, так как они неподвижны относительно друг друга.

Это позволяет производить вычисления с ними как с действительными числами, аналогично приводам постоянного тока, и использовать хорошо отработанные для них принципы построения систем управления. Их взаимное расположение изменяется только в переходных процессах.

Если ось вещественных вращающейся системы совпадает с направлением потокосцепления ротора, то ее оси принято обозначать как d – q. Угол между осями вещественных вращающейся системы d и неподвижной x обозначается через θ. Обе системы координат показаны на рис.2.3. Там же показана еще одна вращающаяся система координат α – β, которая в общем случае может быть произвольно ориентирована относительно координат x – y и d – q. В дальнейшем мгновенные значения угла поворота между вещественными осями неподвижной сиситемы x – y и системы d – q обозначаются через θ₂, а системы α – β через θ_С. Углы поворота ротора в электрическом и физическом пространствах равны только при числе пар полюсов р_п = 1.

В качестве примера на рис.2.3 показан вектор МДС F̃₁, вращающийся относительно неподвижной системы координат x – y, в которой для него можно записать (как и для всех других переменных):

в разных системах координат.

F̃_1х-у = F_1maxе^jθ = F_1max (cos θ + j sin θ) = f_x + jf_y .

Рис.2.3. Пространственный вектор Таким же образом можно представить вектор F̃₁ в

в разных системах координат. подвижной системе координат d – q, учитывая, что она сдвинута относительно неподвижной системы x – y на угол θ₂:

F̃_1d-q = F_1maxе^{j(θ - θ2)} = F_1max [cos (θ - θ₂) + jsin (θ - θ₂)] = f_d + jf_q .

Из этих выражений получаются формулы для пересчета из неподвижной системы в подвижную и обратно:

F̃_1d-q = F_1maxе^jθе^{- jθ2} = F̃_1х-у е^{- jθ2} ; F̃_1х-у = F̃_1d-q е^jθ .

Аналогично получаются выражения для пересчета и в другие системы координат [Л.1].

Математическое описание двигателя содержит переменные как в неподвижной, так и в подвижной системах координат. Все эти переменные должны быть приведены к какой-то одной системе. Представленные формулы позволяют это сделать.

В заключение следует отметить основное свойство пространственного вектора, состоящее в том, что в каждый момент времени его проекция на ось обмотки (статора или ротора) равна мгновенному значению величины переменной в этой обмотке.