Тема. Найбільше і найменше значення функції
План
- Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку.
- Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку.
- Знаходження найбільшого чи найменшого значення функції, неперервної на інтервалі.
- Задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення функції.
1. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку | ||||
Властивість | ||||
Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка. | ||||
Приклади | ||||
2. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку | ||||
Схема | Приклад Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х2 – 12х + 12 на відрізку . | |||
1. Впевнитися, що заданий відрізок входить до області визначення функції f(х). | Область визначення заданої функції – всі дійсні числа (D(f) = R), отже, заданий відрізок входить до області визначення функції f(х). | |||
2. Знайти похідну . | = 3х2 - 12 | |||
3. Знайти критичні точки: = 0 або не існує. | існує на всій області визначення функції f(х) (отже, функція f(х) неперервна на заданому відрізку). = 0; 3х2 – 12 = 0 при х = 2 або х = - 2. | |||
4. Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку. | Заданому відрізку належить лише критична точка х = 2 . | |||
5. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка. | f(1) = 1; f(2) = -4; f(3) = 3. | |||
6. Порівняти одержані значення функції і вибрати з них найменше і найбільше. | , . | |||
3. Знаходження найбільшого чи найменшого значення функції, неперервної на інтервалі | ||||
Властивість | Ілюстрація | |||
Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х0 і це точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого значення в точці х0. |
| |||
Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х0 і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці х0. | ||||
4. Задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення функції | ||||
Схема | Приклад Є дріт довжиною 100 м. Потрібно огородити ним прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки. | |||
1. Одну з величин, яку потрібно знайти (або величину, за допомогою якої можна дати відповідь на питання задачі), позначити через х (і за змістом задачі на класти обмеження на х). | Нехай ділянка має форму прямокутника АВСD (див. рисунок) із стороною АВ = х (м). Враховуючи, що дріт буде натягнуто по периметру прямокутника, одержуємо: 2АВ + 2ВС = 100. Тобто 2х + 2ВС = 100, звідси ВС = 50 – х (м). Оскільки довжина кожної сторони прямокутника – додатне число, то . | |||
2. Ту величину, про яку говориться, що вона найбільша або найменша, виразити як функцію від х. | Площа прямокутника: | |||
3. Дослідити одержану функцію на найбільше чи найменше значення (найчастіше за допомогою похідної). | Дослідимо функцію за допомогою похідної. Похідна існує при всіх дійсних значеннях х (отже, - неперервна функція на заданому проміжку). - критична точка У точці х = 25 змінює знак з плюса на мінус (див. рисунок), отже, х = 25 – точка максимуму. Враховуючи, що неперервна функція має на заданому інтервалі (0; 50) тільки одну точку екстремуму х = 25 і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці х = 25. | |||
4. Впевнитися, що одержаний результат має зміст для початкової задачі. | Отже, площа огородженої ділянки буде найбільшою, якщо сторони прямокутника будуть: АВ = х = 25 (м), ВС = 50 – х = 25 (м), тобто коли ділянка буде мати форму квадрата із стороною 25 м. |