Тема. Застосування похідної до побудови графіків функцій

 

План

  1. Схема дослідження функції для побудови її графіка.
Схема Приклад Побудуйте графік функції .
1. Знайти область визначення функції. 1. Область визначення: D(f) =
2. З’ясувати, чи є функція парною або непарною (чи періодичною). 2. Функція f(х)ні парна, ні непарна, оскільки і , і не періодична.
3. Знайти точки перетину графіка з осями координат (якщо їх можна знайти). 3. На осі Оу значення х = 0, тоді у = 0. На осі Ох значення у = 0: ,х2 – 5х = 0, х(х - 5) = 0. Тоді х = 0, х = 5 – абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.
4. Знайти похідну і критичні точки функції. 4. . Похідна існує на всій області визначення функції f(х). Отже, функція f(х)неперервна в кожній точці своєї області визначення. . При маємо х2 + 8х – 20 = 0, х1 = 2, х2 = -10 – критичні точки.
5. Знайти проміжки зростання і спадання та точки екстремуму (і значення функції в цих точках). 5. Позначимо критичні точки на області визначення і знайдемо знак похідної та характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення (див. рисунок).
 
 

 


Отже, функція зростає на кожному з проміжків та і спадає на проміжках та . Оскільки в критичній точці (- 10) похідна змінює знак з «+» на «-», то х = - 10 – точка максимуму, а в критичній точці 2 похідна змінює знак з «-» на «+», тому х = 2 – точка мінімуму. Отже,

, тоді ;

, тоді .
6. Визначити поведінку функції на кінцях проміжків області визначення і знайти асимптоти графіка функції (вертикальні, горизонтальні і похилі). 6.     При зліва , а при справа (тобто , ). Отже, пряма х = - 4 – вертикальна асимптота. Оскільки , то при , тоді , тобто пряма у = х – 9 – похила асимптота.  
7. Знайти другу похідну і дослідити функцію на опуклість і точки перегину (і значення функції в цих точках). 7. . Оскільки , то знак другої похідної може змінитися лише в точці х = -4. Одержуємо такі знаки другої похідної і відповідний характер опуклості (див. рисунок).  
 
 

 

 
8. Знайти координати додаткових точок графіка функції (якщо необхідно уточнити його поведінку).    
9. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції.