Тема. Екстремуми функції (максимальні та мінімальні значення функції). Дослідження функції на екстремуми

Тема. Монотонність функції, ознаки сталості, зростання і спадання функції

План

1. Монотонність функції.
2. Необхідна і достатня умова сталості функції.

1. Монотонність функції
Достатня умова зростання функції	Достатня умова спадання функції
Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.	Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.
2. Необхідна і достатня умова сталості функції
	Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b) тоді і тільки тоді, коли в усіх точках цього інтервалу.

План

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції.
2. Критичні точки.
3. Необхідна і достатня умови екстремуму
4. Дослідження функції на екстремуми.

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції
Точки максимуму	Точки мінімуму
	Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х0 -; х0 + ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність     - точка максимуму		Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х0 -; х0 + ) точки х0, такий, що для всіх хх0 з цього околу виконується нерівність     - точка мінімуму
Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму
Значення функції в точках максимум і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції
- максимум	- мінімум
2. Критичні точки
Означення	Приклад
Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.	f(x) = х3 – 12х f´(x) = 3х2 – 12х існує на всій області визначення f´(x) = 0 при 3х2 – 12х = 0, х2 = 4, 2 – критичні точки
3. Необхідна і достатня умови екстремуму
Необхідна умова екстремуму	Достатня умова екстремуму
У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує         (але не в кожній точці х0 , де f´(x) = 0 або f ´(x0) не існує, буде екстремум)	Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і похідна f´(x) змінює знак при переході через точку х0, то х0 - точка екстремуму функції f(x)
4. Дослідження функції на екстремуми
Приклад графіка функції у = f(х), що має екстремуми (х1, х2, х3, х4, х5 - критичні точки)
Знаком «» позначено зростання функції, а знаком «»- спадання функції.

Приклад
Схема	Приклад у = f(х) = 3х5 – 5х3 + 1
1. Знайти область визначення функції.	Область визначення:
2. Знайти похідну f ´(х) .	f ´(х) =15х4 – 15х2 = 15х2(х2 - 1) = = 15х2(х - 1) (х + 1)
3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, у яких f ´(х) дорівнює нулю або не існує	f ´(х) існує на всій області визначення. f ´(х) = 0 при х = 0, х = 1, х = - 1.
4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.
5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.
6. Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми).	f(х) зростає на кожному з проміжків: і ; f(х) спадає на . Точки екстремуму: хmax = - 1; хmin = 1 Екстремуми: уmax = f (-1) = 3; уmin = f (1) = -1.