Теорема 1. Функція ех диференційована в кожній точці області визначення, і

(е^х) ' = е^х .

Приклад1. Знайдемо похідну функції у = е^5х:

(е^5х)' = е^5х (5х)' = 5е^5х.

Число е позитивно та відмінно від 1, тому визначені логарифми за основою е.

Визначення. Натуральним логарифмом (позначається 1n) називається логарифм за основою е:

1n x = log_b x.

По основній логарифмічній тотожності для будь-якого додатного числа е^1па = а. Тому а^х може бути записане у вигляді

а^х = (е^1па)^x = е^x1па.

Виведемо формулу похідної показникової функції при будь-якому значенні а.

Теорема 2. Показникова функція а^х диференційована в кожній точці області визначення, і

(а^х)' = а^х lnа.

Приклад 2. Знайдемо похідні функцій у = 2^х и у = 5.

По формулі (а^х)'=а^х lnа маємо (2^х)' = 2^хln2; (5^-3х)'=(-3)·5^-3х ln5.

2. Похідна логарифмічної функції

Покажемо спочатку, що логарифмічна функція диференційована в кожній точці. Графіки функцій у = loga x і у = а^х симетричні відносно прямої у = х. Таким чином, показникова функція диференційована в будь-якій точці, а її похідна не обертається в нуль, графік показникової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці. А це рівносильне диференційованості логарифмічної функції на її області визначення.

Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення обчислюється за формулою