Теорема 1. Функція ех диференційована в кожній точці області визначення, і

х) ' = ех .

Приклад1. Знайдемо похідну функції у = е:

5х)' = е (5х)' = 5е.

Число е позитивно та відмінно від 1, тому визначені логарифми за основою е.

Визначення. Натуральним логарифмом (позначається 1n) називається логарифм за основою е:

1n x = logb x.

По основній логарифмічній тотожності для будь-якого додатного числа е1па = а. Тому ах може бути записане у вигляді

ах = (е1па)x = еx1па.

Виведемо формулу похідної показникової функції при будь-якому значенні а.

Теорема 2. Показникова функція ах диференційована в кожній точці області визначення, і

х)' = ах lnа.

Приклад 2. Знайдемо похідні функцій у = 2х и у = 5.

По формулі х)'=ах lnа маємо (2х)' = 2хln2; (5-3х)'=(-3)·5-3х ln5.

2. Похідна логарифмічної функції

Покажемо спочатку, що логарифмічна функція диференційована в кожній точці. Графіки функцій у = loga x і у = ах симетричні відносно прямої у = х. Таким чином, показникова функція диференційована в будь-якій точці, а її похідна не обертається в нуль, графік показникової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці. А це рівносильне диференційованості логарифмічної функції на її області визначення.

Похідна логарифмічної функції для будь-якого х з області визначення обчислюється за формулою

(lnх)′=

Приклад 1. Знайдемо похідну функції у = ln (5 + 2х).

(ln (5 + 2х))′ = (5 + 2х)′ = .