Тема. Похідна складної функції

Вправи

1. Для функції у = 2х знайдіть приріст функції ∆у, який відповідає приросту аргументу ∆х у точці х₀, якщо:

1) х₀ = 2 і ∆х = 3; 2) х₀ = 1,5 і ∆х = 3,5; 3) х₀ = 0,5 і ∆х = 2,5.

1. Знайдіть приріст ∆у, який відповідає приросту аргументу ∆х у точці х₀ для функції:

1) у = 3х; 2) у = х³; 3) у = х² – х.

1. Користуючись схемою обчислення похідної, знайдіть похідну функції:

1) у = 3х; 2) у = -5х; 3) у = х³.

1. Знайдіть похідну функції:

1) у = х⁸;

2) у = х ^-5;

3) у = х;

4) у = х²⁰;

5) у = х ^-20;

6) у = х;

7) у = х + 3;

8) у = х⁵ - х;

9) у = - х³;

10) у = х² + ;

11) у = 2х³ + 3х;

12) f(x) = х² +5x + 2;

13) f(x) = х⁴ - 2x² - 1;

14) f(x) = 2+ 4х³ + 3;

15) f(x) = х⁵ + ;

16) f(x) = х² + ;

17) f(x) = - 3х² + 6х – 1.

1. Знайдіть похідну функції:

1) у = x²(х + 2);

2) у = x²(2х + х⁴);

3) у = (2х - 1)(1 - x²);

4) у = (3 + х³)(2 - x);

5) у = (х⁹ + 11)(х² - 4);

6) у = (х⁸ - 2);

7) у = (3х² - х);

8) у = (х² - 1)(x⁵ + 2);

9) у = (2х + 9);

10) у = (х³ + 16);

11) у =

12) у =

13) у =

14) у =

15) у =

16) у =

17) у =

18) у =

19) у = .

1. Обчислити значення похідної f(x) у зазначених точках:

1) f(x) = х² +2x, х = -2; х = ;

2) f(x) = х⁴ - 4x, х = 2; х = -1;

3) f(x) =, х = 0; х = -3;

4) f(x) =, х = - ; х = 0,1.

1. Знайдіть значення х, для яких похідна функції дорівнює нулю:

1) f(x) = 3х² - 6x;

2) f(x) = х³ + х² + 5;

3) f(x) = 12х + ;

4) f(x) = - 2х².

1. Розв'язати нерівність < 0, якщо:

1) f(x) = 2х – х²; 2) f(x) = х³ + 3х²; 3) f(x) = 2х + ; 4) f(x) = .

1. Знайдіть похідну в точці х = 1 наступних функцій:

1) f(x) = ;

2) f(x) = ;

3) f(x) = ;

4) f(x) = ;

5) f(x) = ;

6) f(x) = .

План

1. Похідна складної функції.

1. Нехай потрібно обчислити за даним значенням х відповідне значення z функції h, заданою формулою

z = h(х)=.

Для цього треба спочатку обчислити за даним х значення

у =f(х)= 1-х²,

а потім вже за цим уобчислити

z = g(у)=

Отже, функція f ставить у відповідність числу х число у, а функція g - числу у число z. Говорять, що h є складна функція, складена з функцій g і f, і пишуть:

h(х) = g (f(х)).

Щоб обчислити значення складної функції h(х) = g (f(х)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення у «внутрішньої» функції f у цій точці, а потім g (у).

Яка область визначення складної функції g (f(х))? Це - множина всіх тих х з області визначення функції f, для яких f (х) входить в область визначення функції g.

У розглянутому прикладі областю визначення функції f є вся числова пряма. Значення h(х) визначене, якщо значення f (х) належить області визначення функції g(у) = . Тому потрібно, щоб виконувалася нерівність в 0, тобто 1 - х² 0, і, виходить, область визначення функції g (f (х)) - це відрізок [-1; 1].

1. Формула похідної складної функції.

У попередніх пунктах ви навчилися знаходити похідні раціональних функцій, зокрема многочленів. Однак задача обчислення похідної функції f(х) = (2х+3)¹⁰⁰, хоча й зводиться до знаходження похідної многочлена, вимагає дуже великого об'єму роботи: треба представити (2х+3) у вигляді многочлена та продиференціювати 101доданок отриманої суми. Можна помітно спростити рішення цієї та інших задач.

Якщо функція f має похідну в точці х₀, а функція g має похідну в точці у₀ = f(х₀), то складна функція h(х) = g (f(х)) також має похідну в точці х_о, причому

h′(х_о) = g′ (f(х_о)) f′(х_о).

Приклад 1. Знайдемо похідну функціїh(х) = (2х+3)¹⁰⁰.

Функцію h можна представити у вигляді складної функції h(х) = g (f(х)), де g(у) = у¹⁰⁰, у = f(х) = 2х+3.

Тому що f′(х) = 2 і g′ (у) = 100у⁹⁹, маємо

h′(х) = 2* 100у⁹⁹ = 200(2х+3)⁹⁹.

Таблиця похідних
Похідні елементарних функцій	Похідні складних функцій
	, х 0	, х 0
	, a > 0, a - стала
	,
	,, a - стала
	на ОДЗ правої частини формули