Тема. Похідні елементарних функцій . Правила диференціювання функцій

Вправи

  1. Розкрити зміст нерівності <.
  2. Як зобразити - околицю точки а = - 2, якщо = 0,5.
  3. Розв'язати рівняння та нерівності:

1) = 4;

2) = 0;

3) = -6;

4) = х;

5) = -х;

6) > 0;

7) < 0;

8) 2;

9) > 7;

10) -5.


 


  1. Чи є неперервною в кожній із точок х = -1, х = 1, х = 3 функція, графік якої зображено на рис 1

 

 
 

 

 


Рис. 1

  1. Чи є функція безперервною в кожній точці даного проміжку?

1) f (x) = x5 – 3x2 + 2, (-; +);

2) f (x) =, [5; +);

3) f (x) =, (0; +).

4) f (x) = x2 – 3x, (-; +);

5) f (x) =, (0; +);

6) f (x) =, [2; +).


  1. З'ясувати, до якого числа прагне функція f (x), якщо

1) f (x) = при х 0;

2) f (x) = x2 – 5x + 1 при х 1;

3) f (x) = при х 2;

4) f (x) = при х -1;

5) f (x) = при х 3.


 

  1. Знайти: 1) ( x3 + 2x - 1); 2) ; 3) .
  2. Дослідити функцію f (x) = у точці х0 = 1.
  3. Дослідити функцію f (x) =, х R, x 3 на безперервність у точці х = 3.
  4. Дослідити функцію на безперервність у точках х = 0, х = -1, х = 1, якщо f (x) =
  5. Знайти:

1) ( x2 + x +5);

2) (4x –x3);

3) ( x2 + 3x -5);

4) ;

5) ;

6) ;

7) ( x4 - 2x + 5);

8) .


 


9) ;

 

10) ;

 

11) ;

12) ;

 

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) .

Тема. Приріст аргументу і приріст функцій. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, механічний та геометричний зміст

 

План

  1. Приріст аргументу і приріст функцій.
  2. Задачі, які приводять до поняття похідної.
  3. Означення похідної.
  4. Геометричний зміст похідної.
  5. Механічний зміст похідної.
  1. Приріст аргументу і приріст функції

 

 
 
 

 

 

 Якщо змінна величина х змінила своє значення від х0 до х1, то різниця між її новим значенням і початковим називається приростом аргументу і позначається символом ∆х (читається: «дельта ікс»). Таким чином, ∆х = х1 - х0, звідки випливає, що х1 = х0 + ∆х. Кажуть також, що початкове значення аргументу х0 одержало приріст ∆х. Внаслідок цього значення функції зміниться на величину f(х1) - f(х0). Ця різниця називається приростом функції в точці х0, відповідним до приросту ∆х, і позначається символом ∆у (читається: «дельта ігрек») або ∆f (читається: «дельта эф»). ∆у = ∆f(x) = f(х1) - f(х0) ∆у = f(х0 + ∆х) - f(х0).  

 

2. Задачі, які приводять до поняття похідної

 

  1. Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

 

 
 

 

 х(t) – координата х точки в момент часу t
  1. Дотична до графіка функції

 

 
 

 

 

 Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.
  Коли точка N наближається до точки М (рухаючись по графіку функції у = f(х)), то величина кута NМТ наближається до величини кута нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки tg NМТ = , то tg =

 

  1. Означення похідної

 

у = f(х) Похідною функції у = f(х) у точці х0 називається Границя відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.   Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

 

  1. Геометричний зміст похідної
 
 
 

 

 Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. (Кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки) k - кутовий коефіцієнт дотичної - рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х0

 

  1. Механічний зміст похідної

 

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу
S = S (t) – залежність пройденого шляху від часу   V = S ′(t) – швидкість прямолінійного руху   a = v′(t) – прискорення прямолінійного руху Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість v нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t.

 

  1. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції

 

Якщо функція f(х) диференційована в точці х0, то вона неперервна в цій точці.  
Якщо функція f(х) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку

 

 


 

План

  1. Похідні елементарних функцій.
  2. Правила диференціювання функцій.
1. Похідні елементарних функцій
, х 0 , a > 0, a - стала
,
,, a - стала
на ОДЗ правої частини формули
 
2. Правила диференціювання функцій
Правило Приклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних