Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством:
d) Для любого σ > О, Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│≤π при r→1.
Это сразу следует из формулы для Рr(θ).
Теорема. Пусть функция F непрерывна на R и F(t+2π)=F(θ). Пусть
Тогда U(z)→F(φ), когда 
, и сходимость равномерна по φ.
Доказательство.
Этот результат восходит к самому Пуассону, который полагал, что отсюда вытекает сходимость ряда Фурье функции к ней самой (на самом деле из теоремы это не следует!). Запишем
Для заданного произвольного числа <р мы имеем по свойству с)
Следовательно,
Пусть 
таково, что |F(s)— F(φ)|< ε при |s — φ|<2ϭ;
число ϭ здесь зависит только от ε, а не от φ, из-за (равномерной!) непрерывности функции F.
Запишем интеграл в правой части в виде суммы двух:
Если |θ-φ|< ϭ то первый интеграл справа не превосходит 
Tb М — верхняя грань величины |F(t)|. Тогда второй интеграл не превосходит
,
что меньше ε, если r достаточно близко к 1, в силу свойства d).
Таким образом, 
, если |θ-φ|< ϭ, а r достаточно близко к 1.
Q. E. D.
Замечание. Свойства a), b), с) и d) вместе взятые показывают, что 
представляет собою так называемую аппроксимативную единицу. Доказанная теорема имеет место в силу этих свойств: не только для ядра Пуассона, но и для других ядер, являющихся аппроксимативными единицами, справедливы аналогичные результаты.
Теорема. Пусть 
пусть функция F[t) непрерывна в точке θ0. Тогда стремится к F(θ0) при стремлении reiθ к eiθ
Доказательство такое же, как у предыдущей теоремы.
Теорема. Пусть 
, 1≤ р < ∞ , и пусть
.
Тогда 
, т.е. стремится к F(G) в А"-норме при r→ 1.
Доказательство.
Положим Fr(θ) = U(re1θ). Тогда
Используя свойства а) и с) (мы рассматриваем 
как предел выпуклых комбинаций функций 
. считая t параметром, а θ — переменной), имеем по очевидному обобщению неравенства треугольника
.
Полагая
получим
Но 
при 
0. Это так, потому что сдвиг непрерывен в LP-норме для 1≤р <∞. Это следует в свою очередь из элементарных фактов теории функций вещественной переменной. Действительно, пусть даны ) и ε > 0. Найдем непрерывную функцию G, периодическую с периодом 2π, такую что ||F — G||p<ɛ. Тогда, очевидно,
для |t|<ϭ при достаточно малых σ в силу равномерной непрерывности; следовательно,
для |t|<σ.
Во всяком случае, функция Ф(t) непрерывна в 0, где она равна нулю.
Поэтому, по предыдущей теореме, 
при r→∞. Q. E. D.
При р = ∞ все, что мы имеем, — это ω*-сходимость:
Теорема. Если 
и
,
то 
при r→1
Доказательство.
Возьмём произвольную функцию Нужно доказать, что
при r→1. Но это так, потому что (используем чётность 
) 
стремится к G(t) при r→1 по предыдущей теореме. Остаётся только применить теорему Фубини.
Аналогично справедлива
Теорема. Пусть 
где μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда 
при r→1, т. е. для любой непрерывной функции G(θ), периодической с периодом 2π,
когда r→1
Доказательство.
Применяем теорему Фубини вместе с первым результатом этого подпункта.