Определение деформаций и напряжений.

Решение системы алгебраических уравнений.

Для решения системы алгебраических уравнений используются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим образом учитывающие симметрию и структуру матрицы жесткости системы – редкозаполненность или ленточность.

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

 

Контрольные вопросы

1. Перечислить основные шаги численного моделирования.

2. Основное уравнение МКЭ.

3. Перечислить шаги общего алгоритма МКЭ.

 


Лекция 3

Понятие о конечных элементах

 

Определение

Как было отмечено в предыдущих лекциях, метод конечных элементов представляет собой наиболее распространенный приближенный метод в механике твердого тела и может быть интерпретирован с физической или математической точки зрения.

Основа физической концепции МКЭ – это разбиение математической модели конструкции на непересекающиеся компоненты (подобласти) простой геометрии, называемые конечными элементами или просто элементами для краткости. Множество элементов, на которые разбита конструкция, называется конечно-элементной сеткой. Механическое поведение каждого элемента выражается с помощью конечного числа степеней свободы или значений искомых функций во множестве узловых точек. Поведение математической модели, таким образом, аппроксимируется поведением дискретной модели, полученной путем сборки или ансамблирования всех элементов. Заметим, что концепция разбиения-сборки естественно возникает при исследовании многих искусственных или живых систем. Например, легко представить мост, здание, двигатель или скелет, как сложную систему, составленную из простых компонентов. Заметим также, что в отличие от метода конечных разностей, конечные элементы не накладываются друг на друга в пространстве.

 

Атрибуты элемента

Рассмотрим основные типы конечных элементов и их свойства, называемые атрибутами элементов (Рис. 3.1).

Рис. 3.1. Основные типы конечных элементов для одно-, дву- и трехмерных задач механики.

 

1. Собственная размерность.Конечные элементы могут описываться одной, двумя или тремя пространственными координатами в зависимости от размерности задачи, для решения которой они предназначены. Соответствующее число внутренних или локальных координат называется собственной размерностью элемента. В динамическом анализе время рассматривается как дополнительная размерность. Отметим, что в расчетах используются также специальные элементы с нулевой размерностью, такие как, точечные массы или сосредоточенные упругие элементы (пружины).

2. Узловые точки. Каждый элемент описывается множеством характерных точек, называемых узловыми точками или узлами для краткости. Узлы предназначены для описания геометрии элемента и для задания физических степеней свободы (числа неизвестных функций). Узлы обычно находятся в угловых или крайних точках элемента, но могут быть также расположены между угловыми узлами и внутри элемента. Данное различие связано с порядком аппроксимации, который обеспечивает данный конечный элемент. Элементы, имеющие только угловые узлы, называются линейными и обеспечивают линейную интерполяцию геометрии и функций. Элементы, имеющие дополнительные узлы на своих границах между угловыми точками, могут обеспечивать квадратичную или даже кубичную интерполяцию (Рис. 3.1). В первом случае такие элементы называются квадратичными. Отметим также, что существуют элементы, имеющие внутренние узлы. Теоретически такие элементы обеспечивают более точное описание геометрии тела и искомых функций, однако широкого распространения данный тип элементов не получил. При наличии современных автоматических генераторов конечно-элементных сеток часто бывает проще и удобнее разбить конструкцию на большое число линейных элементов простой формы, чем использовать элементы высокого порядка, требующие для построения сетки значительной работы вручную. Элементы, не имеющие внутренних узлов, относятся к так называемому серендипову семейству.

3. Геометрия элемента. Геометрия элемента определяется расположением узловых точек. Большинство элементов, используемых в расчетах, имеют достаточно простую геометрическую форму. Например, в одномерном случае элементы обычно представляют собой прямолинейные отрезки или сегменты кривых линий; в двумерном случае элементы имеют трехстороннюю или четырехстороннюю форму; в трехмерных задачах наиболее распространены такие геометрические фигуры, как тетраэдры, призмы и гексаэдры (Рис. 3.1).

4. Степени свободы. Степени свободы определяют физическое состояние элемента, т.е. физическое поле, которое описывает данный элемент. Благодаря общим степеням свободы в соседних элементах осуществляется сборка модели и формирование глобальной системы конечно-элементных уравнений. В качестве степеней свободы могут фигурировать как узловые значения неизвестной функции, так и ее производные по пространственным координатам в узлах. В первом случае элементы относятся к типу лагранжевых элементов; во втором случае – типу эрмитовых элементов. Например, в простейшей задаче о растяжении стержня неизвестной функцией является продольное перемещение стержня. Соответственно в качестве степеней свободы выступают узловые значения данной функции и, следовательно, конечный элемент относится к лагранжевому типу. Наоборот, в задаче об изгибе стержня неизвестной функцией является поперечное перемещение центральной оси стержня, а в качестве степеней свободы используются как узловые значения самой функции, так и ее производной по продольной координате. Физический смысл этой производной – угол поворота поперечного сечения стержня. Таким образом, конечный элемент, применяемый в расчетах стержня на изгиб, относится к типу эрмитовых элементов. Заметим также, что данные обозначения происходят от названия полиномов Лагранжа и Эрмита, широко используемых в прикладной математике для интерполяции функций по узловым значениям.

5. Узловые силы. Система узловых сил полностью соответствует степеням свободы элемента и выражается с помощью глобального вектора узловых сил.

6. Определяющие соотношения. Для конечных элементов, используемых в механических расчетах, определяющее соотношение задает поведение материала, из которого изготовлена конструкция. Например, в качестве такого соотношения во многих случаях используется обобщенный закон Гука, связывающий тензор деформаций и тензор напряжений в точке. Для линейного упругого стержневого элемента достаточно задать один модуль Юнга Е и один коэффициент температурного расширения ?.

7. Свойства сечения. К свойствам сечения относятся площади и моменты инерции одномерных и двумерных конечных элементов, таких как балки, стержни, пластины. В эту группу также входит толщина пластин и оболочек. При построении конечного элемента свойства сечений считаются заданными и входят в результирующую матрицу жесткости элемента.

 

Классификация конечных элементов, используемых в механике

1. Простейшие конструкционные элементы. К простейшим структурным элементам относятся элементы типа стержень, балка, труба, брус, панель, работающая на сдвиг (Рис. 3.2). Уравнения, описывающие данные элементы, выводятся из теоретических положений сопротивления материалов, т.е. из упрощенных механических формулировок. Исторически первыми стали использоваться именно эти типы конечных элементов.

Рис. 3.2. Простейшие конструкционные элементы.

 

2. Континуальные элементы. Континуальные элементы представляют собой конечные объемы или площади сплошной среды (континуума). Например, к континуальным элементам относятся пластины, оболочки, осесимметричные элементы, трехмерные твердотельные элементы (Рис. 3.3). Уравнения, описывающие данный тип конечных элементов, получаются из общих соотношений механики сплошной среды и, в частности, теории упругости.

Рис. 3.3. Континуальные конечные элементы.

 

3. Специальные элементы.Специальные элементы обладают свойствами как конструкционных, так и континуальных элементов. Они выводятся из уравнений механики сплошной среды, но включают в себя некоторые особенности непосредственно связанные с физическими особенностями решаемых задач. В качестве примера можно привести следующие специальные элементы: элемент с трещиной для задач механики разрушения; многослойная панель; бесконечные и полубесконечные элементы; контактные и штрафные элементы; абсолютно твердотельные элементы (Рис. 3.4).

Рис.3.4. Специальные конечные элементы.

 

4. Макроэлементы.Макроэлементы представляют собой более сложный тип конечных элементов. Как правило, они получаются путем сборки из более простых конструкционных элементов. Число таких элементов, входящих в макроэлемент, как правило, невелико (Рис. 3.5).

Рис.3.5. Макроэлементы.

 

5. Подструктуры. Подструктуры можно определить как макроэлементы с явно выраженными структурными особенностями или функциями. Как правило, они получаются путем разделения полной конструкции на функциональные компоненты. Например, крылья и фюзеляж самолета, пролет и тросы подвесного моста. Заметим, что различия между понятиями полной конструкции, подструктур и макроэлементов не всегда очевидны и четко определены. Поэтому часто используется понятие суперэлемента как обобщенного названия для всех типов макроэлементов или подструктур, представляющих собой комбинацию простейших конструкционных элементов.

 

Ансамблирование

Ансамблирование или сборка представляет собой объединение отдельных элементов в конечно-элементную сетку. С математической точки зрения ансамблирование состоит в объединении матриц жесткости отдельных элементов в одну глобальную матрицу жесткости всей конструкции. При этом существенно используются две системы нумерации узлов элементов: локальная и глобальная. Локальная нумерация представляет собой фиксированную нумерацию узлов для каждого типа конечных элементов в соответствии с введенной локальной системой координат на элементе. Глобальная нумерация узлов всей конструкции может быть совершенно произвольной, также как и глобальная нумерация конечных элементов. Однако, между локальными номерами и глобальными номерами узлов существует взаимнооднозначное соответствие, на основе которого и формируется глобальная система конечно-элементных уравнений.

 

Граничные условия

Согласно терминологии математической физики, рассматривающей различные дифференциальные уравнения, описывающие физические поля, с единой математической точки зрения, граничные или краевые условия для данных дифференциальных уравнений делятся на два основных типа: существенные и естественные. Обычно, существенные условия накладываются на искомую функцию, а естественные на ее производные по пространственным координатам. В математической физике естественные граничные условия получаются «естественным» образом вместе с исходными дифференциальными уравнениями (уравнениями Эйлера) из соответствующего вариационного принципа, в то время как существенные граничные условия должны выполняться независимо.

С позиции метода конечных элементов существенные граничные условия – это такие, которые непосредственно влияют на степени свободы модели и накладываются на компоненты глобального вектора неизвестных U. Наоборот, естественные граничные условия – это такие, которые опосредованно влияют на степени свободы через глобальную систему конечно-элементных уравнений и накладываются на правую часть системы – вектор F.

В задачах механики, как правило, к существенным граничным условиям относят те, которые включают в себя перемещения (но не деформации, представляющие собой производные перемещений по пространственным координатам). Согласно терминологии теории упругости такие граничные условия называются кинематическими. Например, заделка и шарнирное опирание в стержневых задачах представляют собой существенные, или кинематические, граничные условия, наложенные на прогиб или продольные перемещения точек стержня. Заметим, что в задаче изгиба стержня к существенным условиям относится также условия, наложенные на первую производную по продольной координате от прогиба стержня, которая имеет механический смысл угла поворота сечения стержня. Тоже можно сказать об углах поворота сечений в теории изгиба пластин.

К естественным граничным условиям в механических приложениях МКЭ относят условия, наложенные на различные внешние силовые факторы, действующие на точки поверхности тела – сосредоточенные силы и моменты в стержневых задачах; распределенные силы в двумерных и трехмерных задачах. Такие ограничения носят название силовых граничных условий.

В постановках задач механики сплошной среды, и в частности теории упругости, широко используются смешанные граничные условия. Это означает, что в данной точке поверхности тела одновременно заданы некоторые компоненты перемещений и поверхностных сил. Например, такие условия возникают при решении геометрически симметричных задач. Если остальные граничные условия и внешние силы также зеркально симметричны относительно некоторой плоскости, то смешенные граничные условия на плоскости симметрии представляют собой равенство нулю нормальных перемещений и равенство нулю касательных сил.

Перечисленные три варианта граничных условий наиболее распространены в чисто механических приложениях МКЭ. Однако, в междисциплинарных приложениях МКЭ, и в частности, при расчете температурных напряжений, граничные условия накладываются на различные физические переменные и зависят от особенностей математической постановки соответствующих задач.

 

Контрольные вопросы

1. Перечислить атрибуты конечных элементов.

2. Дать классификацию конечных элементов.

3. Дать понятие граничных условий. Перечислить типы граничных условий в задачах механики конструкций

 


Лекция 4

Постановка плоской задачи теории упругости

 

Основные понятия

Плоская задача теории упругости является наиболее подходящим примером для демонстрации алгоритма МКЭ применительно к решению многомерных задач механики сплошных сред. Базовые соотношения и особенности алгоритма метода конечных элементов в данном случае существенно отличаются от расчета одномерных задач (растяжения, кручения и изгибы стержней).

В механике конструкций плоский тонкий лист материала называется пластиной. Расстояние между верхней и нижней поверхностью пластины называется толщиной и обозначается через h. Пластина имеет также срединную плоскость, лежащую между двух поверхностей. Направление перпендикулярное срединной плоскости называется трансверсальным. Как правило, глобальная ось z направлена перпендикулярно срединной плоскости, в то время как оси x и y лежат в срединной плоскости, образуя глобальную декартову систему координат (Рис. 4.1). Таким образом, уравнение срединной плоскости имеет вид: z=0.

Рис. 4.1. Двумерная конструкция в плоско-напряженном состоянии.

 

Для того чтобы пластина находилась в плоско-напряженном состоянии, необходимо чтобы выполнялись следующие условия:

1. Все внешние нагрузки: поверхностные, действующие на точки боковой поверхности пластины, и объемные, действующие на внутренние точки пластины, - перпендикулярны оси z, т.е. лежат в плоскости xy, и симметричны относительно срединной плоскости.

2. Все условия закрепления симметричны относительно срединной плоскости.

3. Внутренние перемещения, деформации и напряжения принимаются постоянными по толщине пластины.

4. Нормальные и сдвиговые компоненты тензора напряжений в направлении оси z равны нулю или пренебрежимо малы.

5. Пластина изготовлена из материала, не меняющего своих свойств по толщине. Такие пластины называются трансверсально-однородными.

Заметим, что 3 и 4 предположения не являются необходимым следствием первых двух. Чтобы они выполнялись толщина h должна быть достаточно малой, обычно не более 10% наименьшего характерного размера пластины в срединной плоскости. Кроме того, если толщина пластины изменяется, то это изменение должно быть достаточно плавным. И, наконец, геометрия пластины должна быть симметричной относительно срединной плоскости.

Последнее предположение очевидно исключает из рассмотрения плоские композиционные конструкции, типа ячеистых сотоподобных структур или сендвич-структур. Разработка моделей таких конструкций требует достаточно сложного интегрирования по толщине пластины, а также учета эффектов изгиба и растяжения, и в данном курсе рассматриваться не будет.

Замечание 1. Нагрузка перпендикулярная срединной плоскости приводит к напряженному состоянию, называемому изгибом пластины, описываемому дифференциальным уравнением IV-го порядка относительно прогиба пластины. Алгоритм МКЭ в этом случае имеет принципиально иной характер, поскольку данная задача относится к классу одномерных задач.

Замечание 2. Если принято, что напряжения вдоль оси z имеют место, то состояние пластины носит название обобщенного плоско-напряженного состояния.

Замечание 3. Кроме плоско-напряженного состояния в теории упругости широко применяется понятие плоско-деформированного состояния, согласно которому деформация вдоль оси z равна нулю. Физически это соответствует протяженным конструкциям, нагруженным силами перпендикулярно оси z. Например, плотина, дамба или лопатка ротора генератора при некоторых допущениях.

 

Математическая модель

Математическая модель пластины в плоско-напряженном состоянии есть двумерная краевая задача теории упругости, заданная в области с границей Г, как показано на рис. 4.2.

Все основные переменные, входящие в исходные уравнения, представляют собой функции двух переменных x и y и считаются осредненными по толщине пластины. Например, внешние силы, действующие в области и входящие в правую часть уравнения движения точек сплошной среды, есть не что иное, как интегралы по толщине пластины от заданных объемных сил.

Рис. 4.2. Математическая модель пластины в плоско-напряженном состоянии.

 

Исходные данные

Исходные данные включают в себя следующие объекты:

Геометрия области. Геометрия тела представляет собой область с границей Г, показанную на рис. 4.2.

Толщина пластины. Во многих случаях пластины, используемые как конструктивные элементы, имеют постоянную толщину. Если же толщина пластины изменяется, то толщина есть функция двух пространственных координат h=h(x,y), при этом для сохранения плоско-напряженного состояния изменение толщины должно быть достаточно медленным.

Материал пластины. Свойства материала задаются с помощью определяющих соотношений. В данной лекции мы рассмотрим случай линейно упругого, но не обязательно изотропного материала.

Силы, действующие в области . «Областные» силы действуют на внутренние точки области . В общем случае они могут быть двух типов. Во-первых, стандартные объемные силы, определенные как силы, действующие на единицу объема пластины, например, вес тела. Во-вторых, специфические областные силы, действующие по касательной к верхней и нижней поверхностям пластины, например, силы трения, которые могут возникать при относительном движении пластины по другому телу. Эти силы определенным образом должны быть приведены к срединной плоскости пластины.

Заданные поверхностные силы. Поверхностные силы – это известные силы, действующие на точки границы Г. Часто они называются поверхностными усилиями. При решении технических задач необходимо обращать внимание на размерность этих сил, т.к. они могут быть заданы как сила на единицу поверхности или как сила на единицу длины.

Кинематические граничные условия. Кинематические граничные условия задают способы закрепления пластины. Точки на границе области могут быть зафиксированы в одном или в двух направлениях. Дополнительно могут быть заданы условия симметрии или антисимметрии. Если кинематические граничные условия не заданы, то такие граничные условия называются свободными.

 

Искомые функции

В задачах механики основными неизвестными величинами являются поля перемещений, деформаций и напряжений. Согласно ранее сделанным предположениям, все основные искомые физические переменные не зависят от нормальной координаты z и являются функциями только координат x и y.

Перемещения. Вектор перемещений состоит из двух компонент:

(4.1)

Нормальная компонента перемещений в общем случае отлична от нуля из-за эффекта коэффициента Пуассона и зависит от z. Однако это перемещение не входит в разрешающее уравнение задачи и может быть вычислено отдельно по найденным основным компонентам.

Деформации. Деформации, лежащие в плоскости, формируют тензор, определяемый тремя независимыми компонентами: и . Для удобства формулировки конечно-элементных уравнений матричной формы компоненты тензора деформации представим в виде трехкомпонентного «вектора деформации»:

(4.2)

Удвоенная компонента представляет собой деформацию сдвига и используется для сокращения записи выражения энергии деформации. Остальные сдвиговые компоненты и равны нулю согласно исходным предположениям. Нормальная компонента обычно не равна нулю из-за эффекта Пуассона. Однако также как перемещение нормальная компонента деформации не входит в разрешающее уравнение как неизвестная. В выражении энергии деформации произведение обращается в ноль, поскольку нормальное напряжение равно нулю по исходным предположениям.

Напряжения. Тензор напряжений также определяется тремя независимыми компонентами и , лежащими в плоскости пластины. Как и в случае с деформациями для удобства представления конечно-элементных уравнений в матричном виде сформируем трехкомпонентный «вектор напряжений»:

(4.3)

Оставшиеся три компоненты тензора напряжений и равны нулю согласно определению плосконапряженного состояния.

Объемные внутренние силы могут быть получены путем интегрирования напряжений по толщине пластины. В случае однородного распределения напряжений по координате z, данные силы, также образующие тензор, легко могут быть вычислены согласно следующей формуле:

(4.4)

В литературе такие силы часто называются мембранными силами (рис. 4.3.).

Рис. 4.3. Внутренние силы и напряжения, действующие на произвольный элемент мембраны.

 

Разрешающие уравнения

Система разрешающих уравнений классической линейной теории упругости схематично представлена на рис. 4.4 в виде так называемой диаграммы Тонти.

Рис. 4.4. Система разрешающих уравнений классической линейной теории упругости в виде диаграммы Тонти.

Система разрешающих уравнений теории упругости относительно трех неизвестных физических полей перемещений, деформации и напряжений состоит из трех групп уравнений: кинематических соотношений, определяющих уравнений и уравнений равновесия в области тела. При отсутствии начальных напряжений в теле эта система уравнений может быть записана в следующем символьно-матричном виде:

(4.5а)
(4.5б)
(4.5в)
       

Кроме уже введенных матричных векторов перемещений, деформаций и напряжений, записанная система трех матричных уравнений содержит вектор объемных сил с компонентами bx, by, входящий в уравнение равновесия, матрицу упругих модулей с компонентами Eij, связывающую напряжения и деформации в точке тела, а также две символические матрицы, состоящие из частных производных по пространственным координатам. Заметим, что символические матрицы, входящие в кинематическое соотношение и в уравнение равновесия, совпадают с точностью до операции транспонирования.

В матричном виде система (4.5) может быть представлена в следующем виде:

(4.6)

где E–симметричная матрица упругих модулей, D – символическая матрица, состоящая из частных производных, b– матричный вектор объемных сил.

Заметим, что приведенная система уравнений (4.6) несколько отличается от координатной или тензорной форм записи полной системы уравнений теории упругости, часто используемым в литературе. Достоинство данной формулировки состоит в том, что все уравнения уже записаны в матричном виде, наиболее удобном для вывода соотношений метода конечных элементов.

Если материал пластины является изотропным, то как известно из теории упругости компоненты матрицы упругих модулей E могут быть выражены через технические константы материала: модуль упругости E, коэффициент Пуассона и модуль сдвига G:

При этом напомним, что только две из перечисленных технических констант являются независимыми. Формула, связывающая модуль упругости E, коэффициент Пуассона и модуль сдвига G, имеет следующий вид:

.

Граничные условия

В классической задаче теории упругости граничные условия, заданные на поверхности Г, могут быть двух типов: кинематические граничные условия и силовые граничные условия. Предполагается, что каждый тип граничных условий задан на своей части поверхности: Гu и Гt соответственно (Рис. 4.5).

Рис. 4.5. Кинематические и силовые граничные условия в плоской задаче теории упругости.

 

Кинематические граничные условия заданы на части поверхности Гu и могут быть записаны в следующей формуле:

(4.7)

Правая часть соотношения (4.7) представляет собой заданные перемещения точек поверхности. Во многих случаях эти перемещения равны нулю. Например, в случае, если часть поверхности каким-либо образом закреплена, как показано на рис. 4.5.

Силовые граничные условия заданы на части поверхности Гt и могут быть записаны в следующей форме:

(4.8)

В формуле (4.8) правая часть представляет собой заданные поверхностные силы или поверхностные усилия, а левая часть – вектор напряжений на площадке с нормалью n.

Альтернативная форма записи силовых граничных условий может быть записана в виде:

(4.9)

где и .

Вектор напряжений на площадке с нормалью nопределяется согласно формуле Коши через компоненты внешней нормали к поверхности и компоненты тензора упругости в точке поверхности:

(4.10)

где nx и ny обозначают декартовы координаты единичной нормали к поверхности n(e) (направляющие косинусы). Таким образом (4.8) может быть записано в виде двух скалярных соотношений и .

В некоторых случаях бывает удобно записать условие (4.8) в локальной системе координат, образованной нормалью n<B< i>> иортом касательной t:

(4.11)

где соответствующие компоненты напряжений в локальной системе координат могут быть выражены следующим образом:

 

Контрольные вопросы

1. Дать определение плоско-напряженного и плоско-деформированного состояния.

2. Записать общую систему уравнений плоской задачи теории упругости.

3. Записать граничные условия плоской задачи теории упругости.

 


Лекция 5

Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости: базовые соотношения

 

Ослабленная формулировка задачи теории упругости

Задачи математической физики могут быть поставлены различным образом. Принято различать три основные формулировки краевых задач математической физики и в частности задачи теории упругости:

1. Прямая (строгая) формулировка, представляющая собой исходную систему дифференциальных уравнений;

2. Ослабленная формулировка, выражаемая в виде некоторого вариационного принципа;

3. Обратная формулировка, в которой исходное уравнение задачи выражено в виде некоторого интегрального уравнения.

Диаграмма Тонти представленная в прошлой лекции на рис. 4.4 представляла собой прямую формулировку задач теории упругости. Все соотношения между физическими переменными в данном случае должны выполняться в каждой точке тела. Это строгое условие схематично выражено черными линиями на диаграмме (рис.4.4).

Ослабленная формулировка изображена на рис. 5.1. Схематично она может быть получена путем ослабления одного или более строгого соотношения. На рис. 5.1 такие ослабленные соотношения изображены серыми линиями. Ослабленные соотношения означают, что соответствующие уравнения выполняются не в каждой точке тела, а в среднем, т.е. в некотором интегральном смысле. Ослабленные связи обеспечиваются с помощью некоторых вариационных формулировок, подходящих для данной задачи. Заметим, что, в общем, для одной и той же задачи может быть сформулирован не один вариационный принцип, и, следовательно, может быть составлено множество ослабленных формулировок задачи. В противоположность этому прямая, или строгая, формулировка всегда единственна.

Рис. 5.1. Ослабленная формулировка задач теории упругости в виде диаграммы Тонти.

 

На рис. 5.1 представлена ослабленная формулировка плоской задачи теории упругости, связанная с вариационным принципом минимума полной потенциальной энергии тела. Согласно данной формулировке уравнение равновесия в области и силовые граничные условия на части поверхности Гt выполняются в ослабленном смысле как вариационные соотношения принципа минимума полной потенциальной энергии , где функционал энергии П будет подробно рассмотрен ниже. Соответствующие связи выражены серыми линиями. Формулировка метода конечных элементов в перемещениях основывается на данной ослабленной формулировке задачи.

 

Полная потенциальная энергия тела

Функционал полной потенциальной энергии идеально упругого тела определяется следующей формулой:

. (5.1)

В соотношении (5.1) U есть внутренняя энергия деформации тела, вычисляемая как интеграл по объему тела от удельной энергии деформации тела, равной половине матричного произведения вектора напряжений на вектор деформаций:

. (5.2)

Толщина h появляется под знаком интеграла в результате представления объемного интеграла через повторный интеграл по области и нормальной координате z:

.

Поскольку напряжения и деформации не зависят от координаты z согласно постановке плоской задачи теории упругости, то их произведение может быть вынесено за знак интеграла по толщине пластины h. Заметим, что сама толщина может быть переменной в области пластины, и поэтому полностью за знак интеграла не выносится.

Величина A в формуле (5.1) представляет собой работу внешних объемных и поверхностных сил, заданных соответственно в области и на части поверхности Гt.:

. (5.3)

Аналогично предыдущему объемный интеграл от объемных сил преобразуется к повторному и затем в результате интегрирования по толщине - к интегралу по области пластины . Второй интеграл, представляющий собой работу поверхностных сил, действующих на боковой грани пластины преобразуется сходным образом:

.

Обратим внимание, что в соотношении (5.3) используется интеграл только по части поверхности Гt, поскольку только на данной части поверхности заданы внешние силы.

 

Конечно-элементная интерполяция

Согласно основной идее метода конечных элементов область тела представляется в виде множества непересекающихся подобластей, называемых конечными элементами, как показано на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Конечно-элементная дискретизация области тела: (а) – исходная область с границей Г; (б) – дискретизованная область , представленная в виде сетки конечных элементов; (в) – конечный элемент, занимающий область с границей Г(е).

 

Как правило, для решения плоской задачи теории упругости используются трехсторонние или четырехсторонние конечные элементы, как было отмечено в лекции 3. Каждый конечный элемент определяется набором узлов. В качестве примера на рис. 5.2 приведен четырехсторонний элемент с линейной интерполяцией координат и перемещений, заданный четырьмя узлами. Напомним, что в случае использования квадратичной интерполяции координат или перемещений четырехсторонний элемент должен описываться восемью узлами (Рис. 3.1).

В случае плоской задачи в каждом узле заданы две компоненты перемещений, которые являются искомыми степенями свободы, как говорилось в предыдущих лекциях. Искомые степени свободы, или узловые переменные, принято объединять в так называемые элементные вектора узловых переменных, в данном случае узловых перемещений:

. (5.4)

Таким образом, каждый элементный вектор содержит 2n степеней свободы, где n – число узлов элемента. В данном случае n=4 (Рис. 5.2), однако, как было показано в лекции 3, число узлов может быть различным в зависимости от типа элемента (Рис. 5.3). Заметим также, что, пронумеровав узлы от 1 до n в пределах данного элемента, мы тем самым ввели локальную нумерацию узлов на элементе. Необходимо отметить, что способ нумерации узлов в пределах элемента может быть произвольным. Однако, один раз выбрав способ нумерации для данного типа элементов, необходимо его придерживаться.

Рис. 5.3. Примеры двумерных конечных элементов, определяемых различным числом узлов.

После выбора узловых переменных необходимо задать закон изменения искомой функции в пределах конечного элемента. Поле перемещений в пределах элемента определяются с помощью интерполирующих соотношений:

, (5.5)

где - специальные интерполирующие функции, или функции формы элемента.

Эти функции обладают рядом специфических свойств, которые будут рассматриваться в дальнейшем. Одно из основных свойств, которое хотелось бы отметить сейчас – локальность, или финитность, интерполирующих функций, что означает, что эти функции заданы только в пределах данного элемента. Заметим также, что функции формы играют значительную роль в алгоритме метода конечного элемента, поскольку задают порядок интерполяции искомых переменных.

Минимальное условие, которое должно быть наложено на функции , то, что каждая функция должна принимать единичное значение в узле i элемента, и обращаться в ноль в остальных узлах.

В матричной форме интерполирующие соотношения (5.5) могут быть записаны следующим образом:

, (5.6а)

откуда получаем:

. (5.6б)

В соотношениях (5.6а) и (5.6б) представляет собой матрицу интерполирующих функций размерности 2x2n, поскольку мы рассматривает двумерную задачу. В случае трехмерной задачи теории упругости соответствующая матрица интерполирующих функций имела бы размерность 3x3n. При этом вид соотношения (5.6б) не изменился бы. В этом проявляется значительное достоинство метода конечных элементов: основные формулы общего алгоритма остаются справедливыми и не меняют своего вида при анализе различных задач теории упругости.

Соотношение (5.6б) является одним из наиболее важных фундаментальных уравнений метода конечных элементов, поскольку участвует при выводе практически всех формул алгоритма МКЭ. В частности, теперь с помощью данного уравнения мы можем преобразовать кинематическое соотношение (4.5а, лекция 4), входящее в постановку плоской задачи теории упругости и связывающее перемещения и деформации в точке. В матричном виде данное соотношение в произвольной точке конечного элемента может быть записано следующим образом:

(5.7а)

где D – матрица, состоящая из частных производных интерполирующих функций по пространственным координатам.

Подставляя в соотношение (5.7а) интерполирующее соотношение (5.6б), получим:

, (5.7б)

где - представляет собой матрицу размерности 3x2n, называемую матрицей градиентов.

Явное выражение матрицы градиентов может быть получено, если мы перемножим матрицу размерности 3x2 на матрицу размерности 2x2n. В результате получим:

. (5.8)

В развернутом виде выражение деформации в точке, таким образом, может быть записано в виде:

. (5.9)

Заметим, что матрица градиентов, также как и матрица интерполирующих функций зависит от номера элемента e. В данном случае индекс e опущен только для сокращения записи.

После определения вектора деформации в точке можно вычислить и вектор напряжений согласно формуле (4.5б). В матричном виде она может быть представлена следующим образом:

(5.10)

Данное соотношение выполняется во всех точках конечного элемента и поэтому вместо вектора деформации может быть подставлено его выражение (5.7б). В результате получим:

(5.11)

Таким образом, пользуясь основным интерполяционным соотношением МКЭ, мы получили необходимые выражения векторов деформаций и напряжений в произвольной точке произвольного конечного элемента. Эти формулы существенным образом будут использованы в следующей лекции при выводе разрешающих уравнений метода конечных элементов применительно к плоской задаче теории упругости.

 

Контрольные вопросы

1. Дать понятие ослабленной формулировки задачи теории упругости.

2. Записать выражение полной потенциальной энергии тела. Пояснить входящие в него величины.

3. Дать понятие интерполирующих соотношений и матрицы градиентов.

 


Лекция 6

Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости: вывод СЛАУ МКЭ

 

Принцип минимума потенциальной энергии

Согласно вариационному принципу Лагранжа полная потенциальная энергия тела, находящегося в равновесии под действием внешних объемных и поверхностных сил, достигает минимума на истинном поле перемещений, т.е. на поле перемещений, удовлетворяющем полной системе уравнений теории упругости. Отсюда следует, что вариация функционала энергии на истинных перемещениях должна быть равна нулю:

. (6.1)

Поскольку полная потенциальная энергия тела складывается из потенциальной энергии деформации тела и работы внешних сил (5.1, лекция 5), то последнее соотношение (6.1) может быть записано следующим образом:

(6.2)

где - вариация потенциальной энергии деформации тела, - вариация работы внешних сил, совпадающая по своему виду с элементарной работой внешних сил на возможных перемещениях.

Вычислим первое слагаемое в формуле (6.2). В предыдущей лекции было отмечено, что потенциальная энергия деформации тела представляет собой интеграл по объему тела от удельной потенциальной энергии:

(6.3)

где W – удельная потенциальная энергия тела, или так называемый упругий потенциал.

Выражение упругого потенциала было получено в предыдущей лекции и в матричном виде может быть записано следующим образом:

(6.4)

Как следует из соотношения (6.4) упругий потенциал представляет собой квадратичную форму относительно компонент вектора деформации. Запишем соотношение (6.4) в развернутом виде:

(6.5)

В данной формуле для сокращений записей были использованы индексные обозначения компонент вектора деформации:

(6.6)

С учетом симметрии матрицы упругих модулей:

(6.7)

соотношение (6.5) может быть записано в виде квадратичной формы:

(6.8)

Применим теперь операцию варьирования к выражению потенциальной энергии деформации тела:

(6.9)

Отметим, что в данном случае потенциальная энергия является функцией деформаций, которые в свою очередь зависят от поля перемещений. Поэтому необходимо использовать правило варьирования сложной функции многих переменных:

(6.10)

где перемещения являются независимыми варьируемыми функциями, а деформации – варьируемыми функциями, зависящими от перемещений.

Заметим также, что с формальной точки зрения математически операция вычисления вариации функции эквивалентна операции вычисления дифференциала функции, т.е. выполняется по тем же правилам:

(6.11)

Перегруппировав слагаемые в соотношении (6.11), получим выражение в виде:

(6.12)

Окончательно вариация упругого потенциала может быть записана в следующем матричном виде:

(6.13)

где - вариация вектора деформаций.

Тогда вариация потенциальной энергии деформации тела будет записана следующим образом:

(6.14)

Вариация работы внешних сил находится простым варьированием соотношения (5.3, лекция 5) с учетом того, что варьируемой независимой функцией является поле перемещений:

(6.15)

где - вариация вектора перемещений.

Заметим еще раз, что выражение (6.15) совпадает с выражением элементарной работы внешних сил на возможных перемещениях .

 

Вывод разрешающих уравнений

Согласно рассмотренному выше алгоритму конечно-элементной дискретизации область тела представляется в виде множества не пересекающихся подобластей. В соответствии с этим разбиением объемные и поверхностные интегралы, входящие в выражения потенциальной энергии и работы внешних сил, равны сумме интегралов по конечным элементам. Следовательно, интегральные соотношения (6.14) и (6.15) будут представлены в виде:

(6.16)
(6.17)

где - общее число конечных элементов, - число конечных элементов, выходящих на границу области.

Для повышения универсальности рассматриваемого алгоритма введем в рассмотрение так называемые матрицы кинематических связей , состоящие из нулей и единиц. Введем также глобальный вектор узловых перемещений , состоящий из декартовых координат векторов перемещений в узлах конечно-элементной сетки. При этом нумерация узлов сетки называется глобальной нумерацией, в отличие от локальной нумерации узлов на элементе. Размер глобального вектора узловых перемещений равен , где - общее число узлов конечно-элементной сетки. Очевидно, что компоненты любого элементного вектора перемещений содержатся в соответствующих позициях глобального вектора перемещений. Матрицы кинематических связей как раз и устанавливают взаимосвязь между этими векторами на основе того очевидного факта, что любой узел любого элемента имеет свой локальный номер в пределах данного элемента и уникальный глобальный номер в пределах всей конечно-элементной сетки. Таким образом, связь между векторами может быть выражена следующим соотношением:

(6.18)

Когда формулы (5.6б) и (5.7б) лекции 5, представляющие собой перемещения и деформации в любой точке конечного элемента, могут быть представлены следующим образом:

(6.19)

Соответственно вариации функций и вычисляются следующим образом:

, (6.20)

поскольку именно глобальный вектор перемещений содержит независимые варьируемые функции – перемещения в узлах конечно-элементной модели. Обратим внимание, что несмотря на зависимость матрицы интерполирующих функций и матрицы градиентов от пространственных координат x и y, эти матрицы не являются варьируемыми функциями.

Применим операцию транспонирования к выражению (6.20). Согласно правилам вычисления транспонированной матрицы, представляющей собой произведение трех матриц, запишем:

(6.21)

Подставим теперь выражения (6.21) и (6.19) в формулу вариации потенциальной энергии (6.16). Получим:

, (6.22)

где вектора и вынесены за знаки суммы и интеграла, поскольку эти вектора состоят из независимых скалярных величин, матрицы , состоящей из нулей и единиц, вынесены только за знак интеграла, так как зависят от номера конечного элемента .

Введем следующие обозначения:

, (6.23)
, (6.24)

где называется элементной матрицей жесткости, называется глобальной матрицей жесткости. В результате получим компактное матричное выражение потенциальной энергии тела:

(6.25)

Аналогично предыдущему запишем выражение элементарной работы внешних объемных и поверхностных сил:

(6.26)

Введем стандартные обозначения элементных векторов сил:

, (6.27)
, (6.28)

где называется элементным вектором узловых сил, статически эквивалентным заданным объемным силам, называется элементным вектором узловых сил, статически эквивалентным заданным поверхностным силам.

Аналогично предыдущему элементные вектора сил объединяются в глобальные вектора:

, (6.29)
, (6.30)

где называется глобальным вектором узловых сил, статически эквивалентным заданным объемным силам, называется глобальным вектором узловых сил, статически эквивалентным заданным поверхностным силам.

Отметим, что процесс формирования глобальной матрицы жесткости и глобальных векторов узловых сил в методе конечных элементов называется ансамблированием.

Таким образом, формула (6.26) будет представлена в следующем компактном виде:

(6.31)

Подставим полученные выражения (6.25) и (6.31) в основную формулу принципа минимума потенциальной энергии Лагранжа (6.2):

(6.32)

Отсюда получаем:

(6.33)

Поскольку вариация глобального вектора узловых перемещений представляет собой вектор, состоящий из независимых произвольных вариаций узловых перемещений, то в общем случае он отличен от нуля. Следовательно, в ноль должно обращаться выражение в круглых скобках. Откуда получаем разрешающую систему конечно-элементных уравнений относительно глобального вектора узловых перемещений:

(6.34)

Матричное уравнение (6.34) представляет собой стандартную форму записи системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (СЛАУ МКЭ). Особенности формирования входящих в нее матриц и векторов и особенности решения СЛАУ будут рассмотрены в следующих лекциях.

 

Контрольные вопросы

1. Сформулировать принцип минимума потенциальной энергии.

2. Вычислить вариацию потенциальной энергии деформации тела.

3. Вычислить элементарную работу внешних сил.

 


Лекция 7

Треугольный линейный конечный элемент: система координат и интерполяция.

 

Введение

В данной лекции будут рассмотрены особенности формирования системы линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (СЛАУ МКЭ) на примере трехузлового треугольного элемента с линейной интерполяцией перемещений, применяемого для решения плоской задачи теории упругости. Для краткости будем называть такой элемент линейным треугольным конечным элементом.

Этот элемент имеет ряд отличительных особенностей:

1. Он принадлежит к семейству так называемых изопараметрических элементов, о чем будет говориться в следующих лекциях;

2. Он позволяет получить выражения элементных матриц жесткости и элементных векторов сил в замкнутой форме, что означает отсутствие необходимости в численном интегрировании при вычислении элементных матриц жесткости и элементных векторов сил;

3. Точность решения, обеспечиваемая данным элементом, не может быть повышена путем добавления внутренних степеней свободы.

В дополнение хотелось бы отметить, что линейный треугольный конечный элемент имеет определенное историческое значение. Он был одним из двух первых конечных элементов, представленных в статье Мартина, Тернера, Клоха и Топпа в 1956 году. Эта публикация общепризнанно считается началом современного метода конечных элементов.

Хотя линейный треугольный конечный элемент в настоящее время реже используется при расчетах конструкции ввиду его низкой точности, тем не менее, он широко используется в тех случаях, когда нет необходимости в высокоточных расчетах, например, концентрации напряжений в конструкции. Другая причина широкого применения треугольного элемента состоит в том, что он очень удобен при использовании в алгоритмах автоматической генерации сетки, например, в широко известном и популярном алгоритме триангулизации по Делоне.

 

Параметрическое представление функций

В дальнейшем изложении существенным образом будет использоваться понятие параметрического представления функции. Совместно с алгоритмами численного интегрирования данный подход играет ключевую роль в системной разработке различных типов конечных элементов для решения двумерных и трехмерных задач механики деформируемых тел.

Основная идея параметрического представления функции может быть продемонстрирована на простейшем примере. Рассмотрим каноническое уравнение окружности единичного радиуса с центром в начале координат:

(7.1)

Кроме канонического представления (7.1) уравнение окружности может быть представлено в виде стандартной функциональной зависимости:

, (7.2)

5rik.ru - Материалы для учебы и научной работы