Вопросы для самопроверки

1. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье.

2. Сформулируйте достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье. Приведите примеры функций, удовлетворяющих и не удовлетворяющих этим условиям.

3. Выведите формулы для коэффициентов ряда Фурье для четных и не четных функций.

4. Представьте ряд Фурье в комплексной форме.

4. Уравнение математической физики.

К решению волнового уравнения сводятся задачи о поперечных колебаниях струны и продольных колебаниях стержней, о звуковых и электромагнитных колебаниях, о колебаниях газа и многие другие задачи о распространении колебаний в однородной среде. К решению уравнения теплопроводности сводятся задачи о распространении тепла в однородной среде, о фильтрации жидкостей или газов и др. задачи.

Пример. Найти решение уравнения с частными производными

удовлетворяющее краевым условиям:

Решение: Пользуясь методом Фурье, полагаем

Тогда заданное уравнение преобразуется к виду и распадается на два уравнения и решая которые, найдем

где и - произвольные постоянные.

Используя условие получим откуда следует:

Каждому значению соответствует частное решение

сумма которых также будет решением данного уравнения

()

Используя условие при , получим для определения равенство

Это равенство есть разложение в интервале (0, 1) данной функции в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы. Поэтому

(**)

Таким образом, сумма ряда (*), коэффициенты которого определяются формулами (**), есть частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данным краевым условиям.