Тема. Рівняння та нерівності, їх розв'язування. Лінійні та квадратні рівняння, нерівності. Рівняння, що зводяться до квадратних
Тема. Повторення. Формули скороченого множення
Тема. Повторення. Дії зі звичайними та десятковими дробами.
1. Розв’язати:
1) (-1,73 – 2,77) ∙ 0,4;
2) 999 ∙ 1001+1001;
3) - 0.6 ∙ (-0.3) – 0.2;
4) (3.1 + 0.09)0;
5) (-7 + 2.5) : 1.5;
6) 0.62 : 0.4 – 1;
7) (-2.35 – 5.15) : 15;
8) (-1.32 – 2.18) ∙ 0.6;
9) (-6 + 1.2) : (-0.8);
10) (0.1 – 0.8)2;
11) (0.3 – 0.5)2;
12) (0,7 – 3,2) : (-0.5);
13) – 2.4 : 0.8 + 1.6;
14) (0,3 – 0,5)0 : 0.2;
15) (-1.4 + 0.8) : 0.2;
16) (-5 + 1,4): (-1.2);
17) (-6 + 1,8) : (-0.6);
18) −2.8 : 0.7 + 2.4;
19) (-1.8 + 0.4) : 0.01;
20) (0.4 - 1)2;
21) 0.42 : 0.2 – 1;
22) (- 2.16 – 4.24) : (-16);
23) (1.2 – 2.9) (-1.7);
24) – 0.7 ∙ (-0.4) – 0.3;
25) (0.4 – 0.7)2;
26) (2.3 + 0.07)0 ;
27) (0.3 – 3.9) : 0.6;
28) (-2.6 + 0.5) : (-0.01);
29) (-0.1)2 + 2.34;
30) (-0.6 + 2.6)4;
31) (-1.2 + 0.4) : 0.4;
32) (-0.8 + 3.8)3;
33) 3.76 + (-0.1)2.
2. Обчислити:
1) + (4) : 1;
2) 2: 13 + (3+ 2) : 2;
3) 2: 4 + (14) : 1+ 3;
4) 23 + (7- 6) : - 5;
5) 32 + (4- 3) : 1+ 3;
6) 4+ · (7:);
7) 6: 1+ : ;
8) 5- · (5: 1);
9) (15 : ) : (3· );
10) · (1: ) · ;
11) · (1: ) : 2;
12) · 5: (:8).
3.Обчислити раціональним способом:
1) (1+ 0,25 - 3- 1): 2
2) (1- 0,75 - 4- ) : 1
3) (1,82 – 2,3) · 1: 2
4) (1,52 - 2· 1) : 1
4.Обчислити:
1) ;
2) ;
3) (4,3 ∙ + 11· 2,25) : 2,75
4) (0,3 - ) ∙ 1,5 (1,88 + 2);
5) ;
6)
1. Розкласти на множники
1) 25х2 – 9
2) 4a2 – 9
3) 64y2 – 36x2
4) 0,25a2 – 0,49b2
5) 0,09a2 - 0,16b2
6) 36x2y2 – 1
7) x2y2 – 16
8) 81y2 – 49y2
9) 25a2 – 9b2
10) b2 – 81
11) (с + d)2
12) (x - y)2
13) (2 + x)2
14) (y +1)2
15) (g + 2p)2
16) (3x + 2y)2
17) (6a – 4b)2
18) (5z - t)2
19) (0,2x + 0,3y)2
20) (0,4b - 0,5c)2
2. Виконати множення
1) (2b - a) (2b + a)
2) (c2 – d2) (c2 + d2)
3) (x4 + y2) (x4 – y2)
4) (3m + 2n) (3m – 2n)
5) (a2 – b3) (a2 + b3)
6) (3a2 – 4b3) (3a2 + 4b3)
7) (0,2t2 – 0,5p4) (0,2t2 + 0,5p4)
8) (2m4 – 5n2) (2m4+ 5n2)
3. Розкласти на множники
1) (a + b)2 – c2
2) (a + 2b)2 – 9a2
3) (m - n)2 – k2
4) (3x - y)2 – 4y2
5) (a - b)2 – (a - c)2
6) (a + b)2 – (b + c)2
7) (2a +b)2 – (2b + a)2
8) (a +3b)2 – (3a + b)2
9) a2 + 4a + 2
10) 9a2 – 6a + 1
11) 1 + 2c + c2
12) 36b2 + 12b + 1
13) 81 – 18x + x2
14) 9x2 + 24x + 16
15) 36m2 + 12mn + n2
16) x4 + 2x2 y + y2
17) 100 – 60a + 9a2
18) p4 – 2p2g + g2
19) 27a3 – b3
20) 8m3+ n3
21) x3y3 + 64
22) c6 – 125d3
4. Обчислити
1) 472 - 372
2) 542 - 442
3) 50,72 – 50,62
4) 29,42 – 29,32
5) (90 - 1)2
6) (40 + 1)2
7) 1012
8) 982
9) 722
10) 572
План
- Рівняння, їхрозв'язування.
- Нерівності, їхрозв'язування.
- Лінійні рівняння.
- Лінійні нерівності.
- Квадратні рівняння.
- Рівняння, що зводяться до квадратних.
- Квадратні нерівності.
1. Рівняння, їхрозв'язування | ||
Означення | Приклади | |
Рівняння – це рівність, яка містить змінну. Розв’язок рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну рівність. | 3(х – 4) = 24, (х – 4) = 24 : 3, х – 4 = 8, х = 8 + 4, х =12 – розв’язок рівняння | |
Розв’язати рівняння – це означає знайти його розв’язки або довести, що їх немає. | 3(х – 4) = 24, х =12 | |
Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті самі розв’язки. | 3х = 36 і 3(х – 4) = 24; їх розв’язок х =12 | |
Деякі властивості рівнянь | ||
У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки. Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і при цьому змінити знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному. | 3х – 4 +5х = 36 3х + 5х = 36 + 4 8х = 40 | |
При діленні (множенні) обох частин рівняння на одне і те саме число, відмінне від нуля, отримаємо рівняння, рівносильне даному. | Поділимо обидві частини рівняння 8х = 40 на 8: х = 5 – це рівняння рівносильне 8х = 40, їх розв’язок 5. | |
2. Нерівності, їхрозв'язування | ||
Якщо а менше b або а більше b, то записують так: а < b або а > b. Такий вираз називається нерівністю. | 7 < 10; 8 > 7 | |
Знаки < , > називаються знаками строгих нерівностей. | а < b ; а > b | |
Знаки , називаються знаками нестрогих нерівностей. | а b; а b | |
3. Лінійні рівняння | ||
Рівняння виду ax = b, де х - змінна, а і b- деякі числа, називається лінійним рівнянням. | 4- 5х = 6 – 2(х + 2), -3х = -2 х = | |
Розв’язування лінійних рівнянь | ||
ax + b = 0; ax = - b | 5х + 4 = 0, 5х = -4 | |
a 0; х = -- єдиний розв’язок | х = -- розв’язок | |
а = 0, 0х = - b – немає розв’язків | 0х = -10 немає розв’язків – 10 на 0 поділити неможливо | |
а = 0, b = 0. 0 х = 0 – нескінчена множина розв’язків | 7х = 7х, 7х - 7х = 0, 0х = 0 х – будь-яке число | |
Розв’язування лінійних рівнянь з двома змінними | ||
Лінійним рівнянням з двома змінними х и у називається рівняння виду: ах + bу + с = 0, де х и у - змінні, а, b, с – деякі числа. | 3х + 4у + 5 = 0 – лінійне рівняння | |
Розв’язком рівняння з двома змінними називається будь-яка пара чисел (х; у), яка перетворює рівняння на тотожність. Розв’язати рівняння з двома змінними – означає знайти всі пари чисел (х; у), які є його розв’язком. | х + 2у = 5 – лінійне рівняння Пара (1; 2) – розв’язок рівняння | |
4. Лінійні нерівності | ||
Лінійною називається нерівність виду ах > b (або, відповідно, ах < b, ах b, ах b ), де - числа. | ||
Розв’язками нерівності з однією змінною називається множина таких значень змінної, яка перетворює її на правильну числову нерівність. | ||
Властивості | Приклади | |
Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то утвориться нерівність, рівносильна даній | 4(у - 1) + 71 – 3(у + 2), 4у – 4 + 7 1 – 3у – 6, 4у + 3у 1 – 6 – 7. | |
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то утвориться нерівність, рівносильна даній | 7у -8, у - | |
Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримуємо рівносильну даній нерівність. | - 3х + 8 < 2х – 2, - 5х < -10, х > 2 | |
5. Квадратні рівняння | ||
Рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де х - змінна, а, b, с – деякі числа, причому а0, називають квадратним рівнянням. а – перший коефіцієнт, b – другий коефіцієнт, с – вільний член | ||
Якщо в цьому рівнянні хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю, то дане рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів: 1) ах2 = 0; 2) ах2 + bх = 0; 3) ах2 + с = 0 | ||
ах2 = 0 при b = 0, с = 0 х2 = 0 х = 0 рівняння має тільки один розв’язок | 5х2 = 0 х2 = 0 х = 0 | |
ах2 + bх = 0 при с = 0 х(ах + b) = 0 х1 = 0 або х2 = рівняння завжди має два розв’язки | 4х2 + 3х = 0 х(4х + 3) = 0 х1 = 0 або х2 = | |
ах2 + с = 0 при b = 0 ах2 = - с х2 = - оскільки с0, то - 0, тоді: 1) якщо - > 0, то рівняння має два розв’язки х1 = -; х2 = ; 2) якщо - < 0, то рівняння не має розв’язків | 9х2 - 4 = 0 9х2 = 4 х2 = х1 = - ; х2 = ; 16х2 + 9 = 0 16х2 = - 9 х2 = - немає розв’язків | |
Якщо а =1, то квадратне рівняння називають зведеним | х2 -bх + 30 = 0 | |
Повні квадратні рівняння ах2 + bх + с = 0 розв’язуємо за формулою х1,2 = , де D = називають дискримінантом даного квадратного рівняння | ||
Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних розв’язків | 2х2 + 5х + 6 = 0 D = 25 – 48 = - 23 D < 0, отже, рівняння не має дійсних розв’язків | |
Якщо D = 0, то рівняння має два однакові розв’язки: х1 = х2 = | 4х2 + 4х + 1 = 0 D = 16 – 16 = 0 D = 0, отже, рівняння має два однакові розв’язки: х1 = х2 = | |
Якщо D > 0, то рівняння має два різні розв’язки: х1 = , х2 = , | 2х2 + 3х + 1 = 0 D = 9 – 8 = 1, D > 0, отже, рівняння має два різні розв’язки: х1 = , х2 = . | |
Теорема Вієта | ||
ах2 + bх + с = 0, , Якщо а = 1, то , | ||
6. Рівняння, що зводяться до квадратних | ||
Рівняння виду ах4 + bх2 + с = 0, де а 0, b0 називається біквадратним рівнянням | 2х4 + 3х2 + 4 = 0 | |
Формула розкладу квадратного тричлена на множники: ах2 + bх + с =а()() | 2х2 - х - 3 =2()(); 2х2 - х - 3 =0, х1 = 1,5; х2 = - 1 2х2 - х - 3 =2()(). | |
7. Квадратні нерівності | ||
Нерівність виду ах2 + bх + с < 0(ах2 + bх + с>0), де х - змінна, а, b, с – деякі числа, причому а0, називають квадратною. | 3х2 + 4х - 5 < 0 - 5х2 - 6х+7 > 0 | |
Для розв’язування квадратичних нерівностей використовують ескіз графіка функції у = ах2 + bх + с, тобто параболу | х | 3х2 - 7х - 10 0 у = 3х2 - 7х – 10 – графік - парабола, вітки напрямлені вгору, вісь Ох перетинає в точках |