Пример разложения в комплексный ряд Фурье

ПАМЯТКА

Если сигнал f(t) является четной функцией, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье равны 0, если же функция f(t) — нечетная, то в 0 обращаются действительные части всех коэффициентов.

(Подсказка). Действительная часть функции комплексной экспоненты еjkt = coskt + jsinkt есть четная функция, а мнимая часть — нечетная.

Поскольку коэффициент С0, выражающий постоянную составляющую, является действительным числом, правая часть равенства принимает действительные значения.

В качестве примера попробуем разложить в ряд Фурье прямоугольный сигнал с периодом T, изображенный на Рис. 5.14. Коэффициенты Фурье выражаются следующим образом:

 

Но поскольку функция f(t) при равна 1, а в остальных случаях она равна 0, то при

Исходя из формулы Эйлера

 

а значит,

 

При k = 0

 

Последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр
б)
в)
Функция f(t) – четная, поэтому коэффициенты Фурье состоят только из действительных частей
Функция выборочного значения
Действительные части коэффициентов Фурье
 
 
 
x
 
 
 
 
 
При Т = 8
k
 
 
 
 
0.25
 
а)
 
t
Т
2Т
-1
 

 

 


Рис. 5.14. Последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр

Понятно, что коэффициенты Ck являются действительными числами. Это также ясно и из того, что f(t) – четная функция. Величина фазы при положительном значении Ck равна 0. Если Ck принимает отрицательные значения, то величина фазы равна .

Функцию

 

можно представить графически, как показано на Рис. 5.14б. Эта функция называется функцией выборки (единичного отсчета). Если считать, что , то

 

т.е. коэффициенты Ck принимают вид, подобный функции выборки.

Попробуем изобразить графически коэффициенты Фурье. Пусть значение k отложено по оси абсцисс, а Re(Ck) – по оси ординат. На Рис.5.14в в качестве примера представлен спектр последовательности прямоугольных импульсов при T = 8.


[1] Вишневский В.М., Портной С.Л., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMax. Путь к 4G. М.: Техносфера, 2009. – 472 с.

 

[2] Сато Юкио. Обработка сигналов. Первое знакомство / Под ред. Есифуми Амэмия, М.:Додека, 2002. – 175 с.

[3] Харкевич А.А. Теоретические основы радиосвязи. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1957. – 347 с.

[4] Харкевич А.А. Теоретические основы радиосвязи. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1957. – 347 с.

[5] Сато Юкио. Обработка сигналов. Первое знакомство / Под ред. Есифуми Амэмия, М.:Додека, 2002. – 175 с.